1、沙市中学 2018 届高三元月考数学（理科）试卷命题老师： 考试时间：2018 年元月 3 日 15：00-17：00 试卷满分：150 分祝考试顺利考生注意：本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分,考生作答时,将答案答在答题 卡上（答题注意事项见答题卡） ，在本试题卷上答题无效考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，集合，则集合 PQ 的真子集个数是（ ）A63 B64 C127 D128 2已知 i 是虚数单位，若为纯虚数，其中， ，则对应的
2、点所在的象限为（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 “”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲的所得比戊的所得多（ ）A B C D5四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD,则如下结论中不正确的是（ ）AAB BBC 和
3、SA 所成的角等于 AD 和 SC 所成的角 CBC 平面 SAD D SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角6已知正数 x，y 满足 ，则的最大值为（ ） A5 B1 C-1 D-57已知函数的定义域是（， ） ，函数 是 R 上的奇函数，则=（ ）A B C2 D38定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为,若对任意的实数 x，都有 2f（x）+x 恒成立，则使成立的实数 x 的取值范围为（ ）A B(-1,0)(0,1) C(-1,1) D9过双曲线=1（0，b0）的左焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 AB 两点，点 F 到双曲线渐近线的距离为
4、d，若|AB|=3d ，则双曲线离心率为（ ）A B C D10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）A B C D11定义 d（a，b）=|a-b| 为两个向量 a，b 间的“距离 ”若向量 a，b 满足：|b|=； ab ；对任意 t R，恒有 d（a，tb） d（a，b） ，则（ ）Aa b B a （a- b） Cb （a- b） D （a+b） （a- b）12已知函数 ，若曲线 y =f（x）上的两条切线 l1，l 2 满足 l1 l2，且 l1 l2=P，记点 P 的坐标为（a，b） ，则下列关系正确的是（ ）Aa+b =（2k+1） （k Z） Ba-b =
5、2k（k Z）Ca+b =4k（k Z） Da-b =4k（k Z）第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题 ，每个试题考生都必须做答第 2223 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知若向量 14若由抛物线 y=与直线 y=x+4 围成的封闭图形的面积为 m，则 m= 15已知直线 y =ax 与圆 C：交于 A ，B 两点，且 CAB 为直角三角形，则 CAB 的面积为 16已知函数，若函数的所有零点依次记为， ， ，,且，则= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12
6、分）在中，三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知函数 cos(2x+B)为偶函数，b=（I）求 b；（）若 a=3，求的面积 S18 （本小题满分 12 分）已知单调递增的正项等比数列满足 a1+a3+a5 =42，且 a3+9 是 a1，a 5 的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）将 an 的底数与指数互换得 bn，设数列的前 n 项和为 Tn，求证：T n19 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ACB =90，四边形 BCC1B1 是边长为 4 的正方形，AC =2（I）若 D 为 BC 的中点，在棱 BB1 上是否存在一点 E，使
7、DE平面 A1EC1 ?（）若 F 是棱 AA1 上的一点，当 AF =时，求二面角 B1-FC-C1 的大小20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C：（a b0）过点（1， ） ，左焦点为 F（-c，0） ，且椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点（I）求椭圆 C 的方程；（）已知直线 l：y=kx+m（m0）交椭圆 C 于 A，B 两点，若椭圆 C 上存在一点 P 满足，求实数 的取值范围21 （本小题满分 12 分）已知函数（a R）的图象过定点（1，-1 ） （I）求函数 f（x）的单调区间，并求出 f（x）的极值；（）若，证明：当时，函数的图象恒在函数图象的上方请考生在第
8、 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22 （本小题满分 10 分）选修 4 -4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 的参数方程为，以坐标原点 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为（I）求直线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；（）判断直线 C1 与曲线 C2 的位置关系，若相交，求出弦长23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数（I）当 a=1 时，求不等式的解集；（）当 a=2 时，函数的最小值为 t， ，求 m+n 的最小值数学（理科）参考答案一、选择题 ABBD BACD CAC
9、D二、填空题13.1 14.1815.1 16.三、解答题17.解：（）在ABC 中，由 f(x)为偶函数可知，所以 B=又因为（0， ，所以 B=.故 f(x)=2sin(2x+)=2cos2x,b=.6 分（）因为 B=，b= ，由正弦定理得 sinA=，所以 A=当 A=时，C=， ABC 的面积 S=；当 A=时，C=， ABC 的面积 S=. 12 分18.解：（）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，依题意有 2（a 3+9）=a 1+a5,代入 a1+a3+a5=42 得a3=8,a1+a5=34,故,解得.因为数列a n为单调递增的正项等比数列，所以 a1=2，q=2.于
10、是数列a n的通项公式为 6 分（）由（）知，b n=n2，所以。所以当 n=1 时，T 1=1;当 n=2 时，T 2=1; 当 n 时，T n=. 12 分19.解：（）因为四边形 BCC1B1 是边长为 4 的正方形，所以 BC=BB1=4,又因为 D 为 BC 的中点，所以 BD=2，因为, 则 AC BC,由已知 CC1 平面 ABC,则 CC1 AC,所以 AC 平面 BCC1B1.因为 A1C1AC,所以 A1C1 平面 BCC1B1,而 DE BCC1B1,所以 DE A1C1.若在棱 BB1 上存在一点 E，使得 DE 平面 A1EC1,则需 DE EC1,则此时应有 EBD
11、.设 BE=x，则,即，所以 x2-4x+8=0，而,故此方程无实数根，即 DE EC1 不可能成立.于是在棱 BB1 上不存在一点 E，使得 DE 平面 A1EC1. 6 分（）以 C 为原点，CA ，CB ，CC 1 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，C（ 0，0，0） ，B 1(0,4,4),F(2,0,2),设平面 B1CF 的法向量为,由得，令 z=-1 得.又平面 CFC1 的法向量为，则 cos=60，即二面角 B1-FC-C1的大小为 60. 12 分20.解：（）依题意知椭圆 C 过点（1， ） ，则,又因为椭圆 C 关于直线 x=c 对称的图形过坐标原点，所以
12、a=2c.又因为 a2=b2+c2,所以 a2=4,b2=3,于是椭圆的方程为.4 分（）设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得 x1+x2= x0, y1+y2= y0， 且.联立, 消去 y，得(3+4k 2)x2+8kmx+4m2-12=0.则=64k 2m2-16(3+4k2)(m2-3)0,即 m21 时，,f(x)单调递减，所以函数 f(x)的单调递增区间为（0，1） ，单调递减区间为.所以当 x=1 时，f(x) 极大值 =f(1)=-1,没有极小值.5 分（）由（）知，即证 lnx-x0 时，,即 h(x)在单调递增，所以 h(x)h(0)=0,即当
13、x0 时，恒成立，于是当时，函数的图象恒在函数图象的上方.12 分22.解：（）由，消去 t 得 x+y-3=0,即直线 C1 的普通方程为 x+y-3=0。由得 x2+y2=8y,即曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+（y-4） 2=16. 5 分（）由（）知，曲线 C2： x2+（y-4） 2=16 表示圆心为（0，4） ，半径为 4 的圆.则圆心（0，4 ）到直线 x+y-3=0 的距离为，故直线 C1 与圆 C2 相交,其弦长为. 10 分23解：（）当 a=1 时，不等式为 2|x-1|-|x+2|,即 2|x-1| |x+2|，两边平方得 x2-4x 解得,所以 f(x)的解集为 5 分（）当 a=2 时，f（x）=2|x-2|-|x+2|=,由此可知，f(x) min=t=f(2)=-4.所以，于是 m+n=(m+n)()=,当且仅当时取等号.所以 m+n 的最小值为. 10 分
