1、2018 届江西宜春昌市重点学校高三 12 月质量检测理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 ， ，函数 的定义域为 ，值域为 ，则|04Mx|40NyfxMN的图象可以是（ ）fA B C D2若复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ）3i21zizA. B. C. D. 1i3已知 均为第一象限的角，那么 是 的（ ）,sinA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4设某中学的高中女生体重 (单位： )与身高 (单位： )具有线性相关关系，根据一组样
2、本数据ykgxcm( ， )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，则下列结论中不(,)ixy1,23in 0.85.71yx正确的是（ ）A. 与 具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点 (,)xyC. 若该中学某高中女生身高增加 ，则其体重约增加1cm0.85kgD. 若 该 中 学 某 高 中 女 生 身 高 为 ， 则 可 断 定 其 体 重 必 为60295若圆锥曲线 的离心率为 ，则 （ ）2:Cx2A. B. C. D. 333136执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）SA. B. C. D.2log102log1967已知函数 的周期为 ，若 ，则 （ ）()si
3、n()0,)2fxAx()1f3()2fA. B. C. D. 2118如图，在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相交于oyx24y两点，则 （ ）,ABcsOBA. B. C. D. 5105109109109我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 钱）;乙复语甲丙,各将公等所持钱，90半以益我，钱成七十;丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱A. B. C. D. 283256710某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ） ，则这个几何体
4、的体积是（ ）1A. B. C. D. 36413211抛物线 的焦点为 ，设 是抛物线上的两个动点，若 ，则28yxF12(,)(,)AxyB1234xAB的最大值为（ ）AFBA. B. C. D. 33456312定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若函数R()fx(2)(fxf1,2x()ln1fx有 个零点，则实数 的取值范围为（ ）()gxfm7mA. B. 1ln2l1n,),868ln,)68C. D. ( l(二填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分13命题“ ”的否定是 20xR14已知单位向量 的夹角为 ， ，则 在 上的投影是 1,e312ae
5、a1e15.在锐角三角形 中， 分别是角 的对边，且 .若 ，ABC,bcABC、 、 32sin0acA2c则 的最大值为 ab16已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三24xy,xy项和的最大值为 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 .nanS1345,aS（）求数列 的通项公式；（）令 ，求数列 的前 项和 1()nnbnb22nT18(本小题满分 12 分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等
6、级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 ）：30空气质量指数 (0,5(,1(,15(0,2(0,25(0,3空气质量等级 级优1级良2级轻度污染 级中度污染4级重度污染 级严重污染6该社团将该校区在 年 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直7方图所得频率估计为概率（）请估算 年（以 天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；208365（）该校 年 月 、 、 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 级重度污染，需要净化空气19 5费用 元，出现 级严重污染，需要净化空气费用 元，记这三天净化空气总费用为 元，求20X的分布列及数学期望X1
7、9(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为等腰梯形， ， ，PABCDPABCDA/ABCD2B， 为正三角形 .4（）求证： 平面 ；（）设 的中点为 ，求平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值E20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点2:1(0)xyCab12,A12,F12， 为线段 的中点 .(4,0)B2FAB（）求椭圆 的方程；（）若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 的交于 两点，已知直线 与 相交于点 ，试判断lC,MN1AM2NG点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由G
8、21 （本小题满分 12 分）设函数 .2ln1()afxRx（1）讨论函数 的单调性；fx（2）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围 2l2aa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程(本题满分 10 分)在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数，xoy1C,Pa21xaty） 以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程aRO2C为 2cos40（）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1C2（）已知曲线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值2ABPABa23.选修 4
9、-5：不等式选讲已知函数 ， .()|3|fxax()|1|2gx（1）解不等式 ；g（2）若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1R212)fa理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D D C B B D B A D A二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分13 , ; 14. ; 15. 4; 16. 0xR20x323102三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应
10、写出文字说明证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 （）设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，- 2 分nad345S135aa即 ，所以 ，解得 - 4 分2533(1)2d- 6 分)2n（）由（）可得： .- 7 分12(1)()n nnb 222122(4(434()1nnT - 9 分2213()( - 12 分2)(184nn18.【解析】 （）由直方图可估算 年（以 天计算）全年空气质量优良的天数为0865（天） - 4 分(0.12)365.9.0（）由题可知， 的所有可能取值为： ， ， ， ， ，X2030， ，- 6 分5则： ，34()(512P13()()51PXC12
11、33408720)(0C129()(05X2 23314740)()00P1(5)(0C360X的分布列为1203040506P6425715927131- 10 分824 1010030050601EX（元） - 12 分919.【解析】 （）在等腰梯形 中，过点 作 于点 ，ABCDEAB如图所示：有 ,3,2AE在 中，有 ，即BD2又因为平面 平面 且交线为 ， 平面 .-5 分PADBCADBPAD（） 由平面 平面 ，且 为正三角形, 为 的中点，PE ，得 平面 E如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 平行于 所在xyDPE直线为 轴，建立空间直角坐
12、标系.z由条件 ，则 ， ， 2ACB1AE323B则 ， ， ， - 6 分(0,)D(1,0)(,30)(,)P在等腰梯形 中，过点 作 的平行线交 延长线于点 如图所示：BDAF则在 中，有 ， ， - 7 分RtFF,0C（另解:可不做辅助线，利用 求点 坐标）2 ， ，设平面 的法向量(1,30)C(1,03)PP11(,)nxyz则 ，取 ，则 ， ，11nDxyzx1y1z面 的法向量 - 9 分P1(3,)n同理有 ， ，设平面 的法向量(0,)E2,3)PBPBE22(,)nxyz则 ，2220nzBxyz取 ，则 ， ，面 的法向量 -10 分21y23E2(3,10)n设
13、平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，PEDC 1231765cos, 2n即平面 与平面 所成二面角的余弦值为 - 12 分B20.【解析】 （）设点 ，由题意可知： ，即 12(,0)(,AaFc42ac2c又因为椭圆的离心率 ，即 1ea联立方程可得： ，则,c223bc所以椭圆 的方程为 - 5 分C243yx（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点 是与 轴平行的直线 上Gy0x假设当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ，此时点 ，Ml34yN83(,)5则联立直线 和直线 可得点1:320Alxy2:6ANlx1,2G据此猜想点 在直线 上 ，下面对猜想给予证明： - 7 分G设 ，联
14、立方程 可得：12(,)(,)xyN2(413)xky222(34)640,kxk由韦达定理可得 ， （*）- 9 分12234xk2126k因为直线 ， ，11:(2)AMylx22:()ANylx联立两直线方程得 （其中 为 点的横坐标）即证：12()G，123yx即 ，即证 - 11 分1221(4)(4)kxkx121240()60xx将（*）代入上式可得 2260363403kkk此式明显成立，原命题得证所以点 在定直线上 上- 12 分G方法二：设 ， 两两不等，123(,)(,)(,)MxyNxy123,x因为 三点共线，所以 ，,B22122112 23()()44(4)()x
15、yx整理得： - 8 分12125()80xx又 三点共线，有： 1,AG31yx又 三点共线，有： 将与两式相除得：2,N2322221321 1 13 223()()()()4()xxxyyxx 即 ，- 10 分23112122()()()xxx将 即 代入得：12158012125()4023()9x解得 （舍去）或 ，所以点 在定直线 上- 12 分34x3xG1方法三：显然 与 轴不垂直，设 l的方程为 ， .l ()ykx12(,)(,)MxyN由 得 .- 7 分2()143ykx222(4)640,kx设 ， 两两不等，23(,),MNyG123,x则 ， ，12kx124k
16、x 2212114|()4,3kxx由 三点共线，有： ,A31yx由 三点共线，有： 2,NG23与两式相除得：- 10 分32121122121()(4)()3()813xyxkxxx 解得 （舍去）或 ，所以点 在定直线 上- 12 分34x31xG1x21.【解析】解：（1）由题易知函数 的定义域为 ，fx,，21aafxx设 ， ，2g2482A当 ，即 时， ，0Aa0gx所以 ， 在 上是增函数；fxf1,当 时， 的对称轴 ，当 时， ，xa110gx所以 ， 在 是增函数；0fxf,当 时，设 是方程 的两个根，2a12,()x2xa则 ， ，1xa当 或 时， ， 在 上是
17、增函数；2x0ffx12,x当 时， ， 在 上是减函数1x12()综合以上可知：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调减区间；afx,当 时， 的单调递增区间为 ，2afx22(,),(,)aa单调递减区间为 ；22(,a（2）当 时， xln1xln10xfxa令 ，由（1）知hf当 时， 在 上是增函数，所以 在 上是增函数ax,hx2,因为当 时， ，上式成立；220h当 时，因为 在 上是减函数，fx22(,)aa所以 在 上是减函数，hx2(,)a所以当 时， ，上式不成立20hx综上， 的取值范围是 (,222.【解析】 （）曲线 参数方程为 ,其普通方程 ，- 2 分1C21xa
18、ty 10xya由曲线 的极坐标方程为 ,2 2cos4022cos4s ,即曲线 的直角坐标方程 .- 5 分240xy22yx（）设 、 两点所对应参数分别为 ，联解 得AB12,t412aty2140ta要有两个不同的交点，则 ,即 ，由韦达定理有2()4()0a124ta根据参数方程的几何意义可知 ，12,PAtBt又由 可得 ，即 或 - 7 分2PAB12tt12t12t当 时，有 ，符合题意- 8 分12t 2130364att当 时，有 ，符合题意 - 9 分12t2119t综上所述，实数 的值为 或 - 10 分a36423.【解析】 （1） ，()|1|2|gxx两边平方可得： .|2（2） ，有 ，1,xR12()|()|()fxgyfxygx故分别求值即可.，()|3| 3)|faaa，故 或 ，()|1|2gx|3|21a5a所以 的取值范围为 .a(,5,)
