1、广西陆川县中学 2018 年春季期高三开学基础知识竞赛文科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ，则 ,故选 C.2. 若复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 等于（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】 ，因为该复数的实部和虚部互为相反数，因此 ，因此 。故选 A.3. 已知平面向量 ，若 与垂直，则 （ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】试题分析： 与垂直考点：1向量的坐标运算；2向量垂直的位置关系4. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为A. B.
2、 C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图所示，由 得 。平移直线 ，由图形可得当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时取得最大值。由 ，解得 ，故点 A 的坐标为（2， -1）。 。选 B。5. 已知数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，则数列 的前 11 项和为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知数列 为等差数列， 。 ，数列 的前 11 项和为 。选 D。6. 向量 ， ，且 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ， ， 。选 C。7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于A. B. C. D. 【答
3、案】B【解析】当 时， ，所以 ；当 时， 。综上可得输出的 的范围为 。选 B。8. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D. 【答案】D9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据三视图画出几何体直观图为如图所示的三棱锥 ，其中底面为两直角边分别为 2,6 的直角三角形，棱锥的高为 4。故其体积为 。
4、选 A。10. 已知双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 截得的弦长为 2，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得圆方程即为 ，故圆心为（3,0） ，半径为 2.双曲线的一条渐近线为 ，即 ，故圆心到渐近线的距离为 。渐近线被圆截得的弦长为 2， ，整理得 。 。选 D。点睛：双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质 ，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围11. 是 所在平面上的一点，满足 ，若 ，则 的面积A. B.
5、 C. D. 【答案】A【解析】 ， ， ，且方向相同。 ， 。选 A。12. 设函数 ，其中 ， ，存在 使得 成立，则实数的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 可视为动点 M(x,2lnx)与动点 N(a,2a)之间距离的平方,动点 M 在函数 y=2lnx 上,动点 N 在直线 y=2x 上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由 y=2lnx 得 ,解得 x=1,所以曲线上的点(1,0) 到直线 y=2x 的距离最小,距离平方的最小值为 ,则 ,又存在 使得 成立,则 ,此时 N 为垂足, ,解得 a= ,故选 A.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
6、； 13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_【答案】4【解析】由三视图知,这个几何体的结构特征是一个四棱锥,底面 ABCD 是直角梯形,AD/BC,AD=2,BC=4,AB=2, ,侧棱 SA 底面 ABCD,且 SA=2,则体积为 ,故填 4.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视
7、图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.14. 若满足条件 的整点( x， y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a的值为_【答案】-1【解析】作出满足条件的平面区域如图所示,要使整点个数为 9 个,即,整数 a 的值为-1,故填-1.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .15. 已知 P 为圆
8、C： 上任一点，Q 为直线 l:x+y=1 上任一点，则 的最小值为_【答案】【解析】圆心 C(2,2)到直线 l:x+y=1 的距离为 ,故直线与圆相离, P 为圆 C：上任一点 ,设点 P(x,y), Q 为直线 l:x+y=1 上任一点，设点 Q(a,1-a), ,表示点(-a,a-1)到圆 C 上点的距离,设距离为d,则 的最小值为 d-1, ,则 时,d 最小为 ,则的最小值为 ,故填 .16. 等比数列 满足： 成等比数列，若 唯一，则 a 的值等于_【答案】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知 内接于单位圆，角且 的对边分别为 ，且 .（）求 的值；（）
9、若 求 的面积【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得 2sinAcosA=sinA，又0A，即可求得 cosA 的值（2）由同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值，由于顶点在单位圆上的ABC 中，利用正弦定理可得，可求 a，利用余弦定理可得 bc 的值，利用三角形面积公式即可得解试题解析：解：（1）因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 .所以 ，所以 .（2）据（1）求解知 ，又 ， ，又据题设知 ，得 .因为由余弦定理，得 ，所以 .所以 .18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M
10、名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中 M，p 及图中 a 的值；（2）若该校高三学生有 240 人，试估计高三学生参加社区服务的次数在区间(10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多一人参加社区服务次数在区间25,30)内的概率.【答案】(1)详见解析;(2) 60 人;(3)详见解析.【解析】试题分析: （ ）由分组10,15)内的频数是 10，频率是 0.25 得出 M,由频数之和为 40，得出 m,进而求出 p,由对应分组15,20)的频
11、率与组距的商得出 a;(2) 因为该校高三学生有 240 人，分组10,15) 内的频率是 0.25，可得出答案;(3) 这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人，将任选 2人的情况一一列举,挑出在25,30)的情况,根据古典概型求出概率 ,进而求出其对立事件即可.试题解析：（1）由分组 内的频数是 10，频率是 0.25 知， ，所以 .因为频数之和为 40，所以 ， .，因为 是对应分组 的频率与组距的商，所以.（2）因为该校高三学生有 240 人，分组 内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间的人数为 60 人.（3）这个样本参加社
12、区服务的次数不少于 20 次的学生共有 人，设在区间 内的人为，在区间 内的人为 ，则任选 2 人共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 15种情况，而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为 .19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，已知 底面 ABCD，且 AB=2，PA=AD=DC=1，M为 PC 的中点，N 在 AB 上，且 BN=3AN.（1）求证：平面 平面 PDC；（2）求证：MN/平面 PAD；（3）求三棱锥 C-PBD 的体积.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）由 底面 得 ，又 得 平面 ，由面面垂直的判定定理可得
13、平面 平面 ；（2）取 的中点 ，连接 ，则可证四边形 是平行四边形，于是 ，由线面平行的判定定理得 平面 ；（3）以三角形 为棱锥的底面，则棱锥的高为，代入体积公式计算即可.试题解析：（1）证明： 底面 ， 底面 ，故 ；又 ， ，因此 平面 ，又 平面 ，因此平面 平面 .（2）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，又 ，故 .又 ， ， ，又 . ， ，且 ，故四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 .（3）解：由 底面 ， 的长就是三棱锥 的高， .又 ，故 .20. 已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 2.（1）求椭圆 E 的方程；（2）椭圆下顶点为 A，直线 与椭圆相交于不同的两点 M,N，当 时，求 m的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题已知椭圆方程； ，利用条件离心率为 ，及右焦点到直线 的距离为 ，易求出 的值，得出方程（2）由题可先让直线 方程与（1）中的椭圆方程联立， （有交点 ）再设出 两点坐标并用根与系数的关系表示出 ，再结合条件 ，可表示出 的关系式，再代入 ，可求出的取值范围试题解析：（1）设椭圆的右焦点为 ，依题意有又 ，得 , 又 ， 椭圆 的方程为（2）椭圆下顶点为 ，由 消去 ，得直线与椭圆有两个不同的交点，即
