1、第 2 讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1若双曲线 1(a0，b0)与直线 y x 无交点，则离心率 e 的取值x2a2 y2b2 3范围是 ( )A(1,2) B.(1,2C(1， ) D.(1， 5 5解析 因为双曲线的渐近线为 y x，要使直线 y x 与双曲线无交点，ba 3则直线 y x 应在两渐近线之间，所以有 ，即 b a，所以3ba 3 3b23a 2，c 2 a23a 2，即 c24a 2，e 24，所以 1e2.答案 B2已知椭圆 1(0 b2) ，左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 交x24 y2b2椭圆于 A，B 两点，若|BF 2
2、| AF2|的最大值为 5，则 b 的值是 ( )A1 B. 2C. D.32 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为 a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF 2|AB |4a8，所以| AB|8(|AF 2| |BF2|)3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即 3，可求得 b23，即 b .2b2a 3答案 D3(2014湖北卷 )已知 F1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F 1PF2 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( 3)A. B. 433 233C3 D.2解析 设|PF 1|r 1，|PF 2| r2(r1r 2)，|F 1F2
3、|2c，椭圆长半轴长为 a1，双曲线实半轴长为 a2，椭圆、双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则(2c)2r r 2r 1r2cos ，得 4c2r r r 1r2.21 23 21 2由Error!得Error! .1e1 1e2 a1 a2c r1c令 m r21c2 4r21r21 r2 r1r2 41 (r2r1)2 r2r1 ，4(r2r1 12)2 34当 时，m max ， max ，r2r1 12 163 (r1c) 433即 的最大值为 .1e1 1e2 433答案 A4(2014福建卷 )设 P，Q 分别为圆 x2(y6) 22 和椭圆 y 21 上的点，则x210P，Q
4、 两点间的最大距离是 ( )A5 B. 2 46 2C7 D.62 2解析 设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r ，2点 C 到椭圆上的点 Q( cos ，sin )的距离|CQ |10 10cos 2 sin 62 46 9sin2 12sin 5 ，50 9(sin 23)2 50 2当且仅当 sin 时取等号，所以| PQ| CQ|r5 6 ，即23 2 2 2P，Q 两点间的最大距离是 6 ，故选 D.2答案 D二、填空题5已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，y23则 的最小值为_ PA1 PF2 解析 由已知得 A1(1,0) ，
5、F 2(2,0)设 P(x，y )(x1)，则 ( 1x，y)(2 x，y)4x 2x5.令 f(x)4x 2x5，则PA1 PF2 f(x)在1 ， )上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取最小值，即 PA1 取最小值，最小值为2.PF2 答案 26已知 A(1,2)，B(1,2)，动点 P 满足 .若双曲线 1(a0，b0)的AP BP x2a2 y2b2渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析 设 P(x，y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹为 (x1)(x1)(y2)(y 2)0，即 x2(y2) 21，它是以(0,2) 为圆心， 1 为半径的圆又双
6、曲线 1(a0，b0)的渐近线方程为 y x，即 bxay0，由题意，x2a2 y2b2 ba可得 1，即 1，所以 e 2，又 e1，故 1e2.2aa2 b2 2ac ca答案 (1,2)7若椭圆 1(ab0)与双曲线 1 的离心率分别为 e1，e 2，则x2a2 y2b2 x2a2 y2b2e1e2 的取值范围为_ 解析 可知 e 1 ，e 1 ，21a2 b2a2 b2a2 2 a2 b2a2 b2a2所以 e e 22e 1e20e 1e21.21 2答案 (0,1)8直线 3x 4y40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1) 21 从左到右的交点依次为 A，B，C，D，则 的值为
7、_ABCD解析 由Error!得 x23x 40，x A 1，x D4，y A ，y D4.14直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0,1)AFy A1 ，DFy D15，54 .ABCD AF 1DF 1 116答案 116三、解答题9(2014烟台一模 )已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，12它的一个顶点恰好是抛物线 x28 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(2,3)，Q(2 ，3)在椭圆上，点 A，B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ BPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0
8、)，x2a2 y2b2则 b2 .由 ，a 2c 2b 2，得 a4，3ca 12椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)当APQBPQ 时，PA，PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为k，则 PB 的斜率为k，PA 的直线方程为 y3k(x 2) ，由Error!整理得(34k 2)x28(32k) kx4(32k) 2480，x12 ，82k 3k3 4k2同理 PB 的直线方程为 y3k(x2)，可得 x22 ， 8k 2k 33 4k2 8k2k 33 4k2x 1x 2 ，x 1x 2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2k AB y1 y2x1 x2 kx1
9、 2 3 kx2 2 3x1 x2 ，kx1 x2 4kx1 x2 12所以直线 AB 的斜率为定值 .1210(2014湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0)，C 1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点，过点 M(4,0)的直线 l与抛物线 C2 分别相交于 A，B 两点(1)写出抛物线 C2 的标准方程；(2)求证：以 AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上，直线 l 与椭圆 C1 有公共点，求椭圆 C1 的长轴长的最小值解 (1)设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由 F(1,
10、0)，得 p2，C 2： y24x .(2)可设 AB：x4ny，联立 y24x ，得 y24ny160.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y216，x 1x2 16，y21y216 x 1x2y 1y20，即以 AB 为直径的圆过原点OA OB (3)设 P(4t2,4t)，则 OP 的中点(2t 2,2t)在直线 l 上，Error!得 n1，又t0，n1，直线 l：xy 4.设椭圆 C1： 1，与直线 l：xy4 联立可得：x2a2 y2a2 1(2a21)y 28(a 21) ya 417a 2160，由 0，得 a ，342长轴长最小值为 .3411(2014金丽
11、衢十二校联考)如图，过椭圆 L 的左顶点 A(3,0)和下顶点B(0，1)且斜率均为 k 的两直线 l1，l 2 分别交椭圆于 C，D ，又 l1 交 y 轴于M，l 2 交 x 轴于 N，且 CD 与 MN 相交于点 P.(1)求椭圆 L 的标准方程；(2)()证明存在实数 ，使得 ；AM OP ()求|OP|的取值范围解 (1)由椭圆 L 的左顶点为 A(3,0)，下顶点为 B(0，1)可知椭圆 L 的标准方程为： y 21.x29(2)()证明 由(1)可设直线 l1，l 2 的方程分别为 yk(x 3)和 ykx1，其中 k0，则 M(0,3k)，N( ，0)1k由Error!消去 x
12、 得(19k 2)x254k 2x81k 290.以上方程必有一根3，由根与系数的关系可得另一根为 ，故点 C 的3 27k21 9k2坐标为( ， )3 27k21 9k2 6k1 9k2由Error!消去 x 得(19k 2)x218kx 0，解得一根为 ，18k1 9k2故点 D 的坐标为( ， )18k1 9k2 9k2 11 9k2由 l1 与 l2 平行得 t ， t ，然后，进行坐标运算，即可得出点MP MN CP CD P 的坐标为 ，而 (3,3k)， .(31 3k，3k1 3k) AM OP ( 31 3k，3k1 3k) (13k ) ，存在实数 13k ，AM OP 使得 .AM OP ()由 ，OP ( 31 3k，3k1 3k)法一 由消参得点 P 的轨迹方程为 x3y 30，所以|OP |的最小值为 ；31010法二 得|OP| ，令 t13k ，31 k2|1 3k|则|OP| ，其中 0,1，101t2 21t 1 1t|OP|的最小值为 ，故|OP| 的取值范围为 ，)31010 31010
