1、夜风非常冷整理A thesis submitted toXXXin partial fulfillment of the requirementfor the degree ofMaster of Engineering空瓶换酒的问题这类题经常会问到“最多（可以/可能） ”喝道多少瓶酒(这里特别需要注意:“最多可以”或“最多可能”这两个词。意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值,因为方法可以是假设的,所以这个值应该是假设的最大值.既:假设在最有可能的情况下,充分利用每一个空瓶（现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶）凑合换最多的酒这样就可以有两种换法举个例子：3 个空瓶换 1 瓶酒
2、, 8 个空瓶（在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下）最多可以换到多少瓶酒？第一种方法就是拿 3 个空瓶直接换 1 瓶酒,喝完就留下 1 个瓶根据第一种换法，画个示意图：把 8 个空瓶分为: 3 空瓶 3 空瓶 2 空瓶 换 换 |2 瓶酒= 1 瓶酒 + 1 瓶酒 |3 瓶酒= + 1 瓶酒=剩下 1 空瓶+剩下 1 空瓶+ 2 空瓶剩下 1 空瓶思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒;如果按上面的算法就还剩下 1 个空瓶没有利用.这样显然也就达不到假设的最大值。所以这个答案就不是最多可能的数。再看第二种方法:先拿 2 个空瓶换 1 瓶酒,喝完酒就直接把瓶子留在那
3、里(即:喝完后不带走酒瓶)根据第二种换法，再画个示意图：把 8 个空瓶分为:2 空瓶 2 空瓶 2 空瓶 2 空瓶 换 换 换 换4 瓶酒=1 瓶酒 + 1 瓶酒 + 1 瓶酒 + 1 瓶酒 思路：因为每次换酒喝完后,瓶子都直接留在那里了,没有带回. 所以没有剩下空瓶。夜风非常冷整理刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件.只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值. 所以这个答案才是最多可能的数。既:8/(3-1)=4通过以上的规律,我们可以总结出空瓶换酒的公式.A 代表多少个空瓶可以换一瓶 XXB 代表有多少个空樽C 代表通过多少个空瓶可以换一瓶 XX 最
4、多能喝到多少瓶 XXB/(A-1)=C奥数专题讲座分数与百分数1、迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的 56%，如果再生产 5040 台，总产量就超过计划产量的 16%，那么，原计划生产插秧机多少台？解：已完成计划的 56%，则未完成的还有原计划的 44%，如果再生产 5040 台后就超过计划产量的 16%，即 5040 台是原计划的 44%+16%=60%，那么，原计划台数=5040/60%=8400 台。2、圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，20 支圆珠笔和 21 支铅笔公用 71.5 元。问圆珠笔的单价是每支多少元？解：因为圆珠笔和铅笔的价格比是 4：3，那么 20 支圆珠笔和 2
5、1 支铅笔的价格比就是4*20：3*21=80：63，20 支圆珠笔的用了：71.5*80/（80+63）=40 元，每支圆珠笔的价格=40/20=2 元。3、 李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内。已知东院养鸡 40 只；现在把西院养鸡数的 1/4 卖给商店，1/3 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的 50%。原来东、西两院一共养鸡多少只？分析：“再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的 50%”，从这里我们可以知道卖出的是原来东西两院总数的一半，即卖出的与剩下的相等。解： 以下内容只有回复后才可以浏览西院卖出后还剩下
6、：1-（1/4+1/3）=1-7/12=5/12， 西院卖出的比它剩下的多了 7/12-5/12=2/12=1/6，西院养鸡数=40/（1/6）=240 只，东西两院养鸡总数=40+240=280 只。4、用一批纸装订一种练习本。如果已装订 120 本，剩下的纸是这批纸的 40%；如果装订了 185 本，则还剩下 1350 张纸。这批纸一共有多少张？分析：通过已装订 120 本，用掉这批纸的 60%，我们就可以知道每本所用的纸占这批纸的比例；从而可以得出 185 本所用的纸占整批纸的比例。解：每本练习本用纸占整批纸的比=（1-40%）/120=1/200，以整批纸的数量为单位“1” ，那么，装
7、订 185 本用纸=185*(1/200)=37/40，还剩下的纸是整批纸的 1-37/40=3/40，共 1350 张，所以，整批纸=1350/（3/40）=18000 张。5、有男女同学 325 人，新学年男生增加 25 人，女生减少 5%，总人数增加 16 人。那么现在男同学多少人？夜风非常冷整理分析：知道男生增加人数，也知道总人数增加人数，那么就可以知道女生减少的人数；再由女生减少人数所占的比例，就可以知道原来女生的总数了。解：女生减少人数=25-16=9 人，原来女生总人数=9/（5%）=180 人，原来男生人数=325-180=145 人，现在男生人数=145+25=170 人。6
8、、有一堆糖果，其中奶糖占 45%，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？分析：总量数量是变化的，不能作为单位“1” ，但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。解：奶糖占 45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的 11/9；放入 16 块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的 3 倍；3-11/9=16/9，即放入的 16 块水果糖占奶糖的 16/9，所以，奶糖数=16/(16/9)=9 块。7、甲乙两包糖的重量比是 4:1，如果从甲包取出 10 克放入乙包
9、后，甲乙两包糖的重量比变为 7:5。那么两包糖重的总和是多少？分析：从甲包取出部分放入乙包，总重量不变。这样我们就可以将总重量看作单位“1” ，从拿出 10 克前后所占总重量的比例变化求得答案。解：甲包原来重量是总重量的 4/（4+1）=4/5，拿出 10 克后，甲包种粮食总重量的 7/（7+5）=7/12，相差 4/5-7/12=13/60，所以，总重量=10/（13/60）=600/13=46 又 2/13 克。8、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占 28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占 32%。那么，共有棋子多少堆？分
10、析：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。解：拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占 28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7；拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：18-（7+18）/2=14：11，即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14；在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的 17/8；黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的 25/56；所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4 堆。转化思路：将每一堆白子占 28%的棋子看成是浓度 28%的溶液，那么本
11、题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液 50 克中，需要加入多少克浓度 28%的溶液，才能使浓度变为32%。原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6*50=300 克，所以，共有棋子=（300+100）/100=4 堆。9、幼儿园大班和中班共有 32 名男生，18 名女生。已知大班男生数与女生数的比为 5:3，中班中男生数与女生数的比为 2:1，那么大班有女生多少名？解：假设 18 名女生全部是大班，则大班男生数：女生数=5:3=30：18，即男生应有 30 人，实际男生有 32 人，32-30=2，相差 2 个人；中班男生数：女生数=2:1=
12、6：3，以 3 个中班女生换 3 个大班女生，每换一组可增加 1 个男生，需要换 2 组；夜风非常冷整理所以，大班女生有 18-3*2=12 个。10、某校四年级原有 2 个班，现在要重新编为 3 个班，将原一班的 1/3 与原二班的 1/4 组成新一班，将原一班的 1/4 与原二班的 1/3 组成新二班，余下的 30 人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多 10%，那么原一班有多少人？解： 原一班的 1/3 与原二班的 1/4 + 原一班的 1/4 与原二班的 1/3=7/12 总人数，余下 1-7/12=5/12，是 30 人，所以总人数=30/（5/12）=72 人；72-30=
13、42 人，新一班与新二班的人数和为 42 人，新一班的人数比新二班的人数多 10%，新一班人数：新二班人数=11：10，新一班 42*11/（10+11）=22 人，新二班 42-22=20 人，多 22-20=2 人，即原一班的（1/3-1/4）=1/12 比原二班的 1/12 多 2 人，原一班比原二班共多 12*2=24 人，所以，原一班有 24+（72-24）/2=48 人。11、有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：第一包糖的粒数是第二包糖的 2/3；在第一包糖中，奶糖占 25%，在第二包糖中，水果糖占 50%；巧克力糖在第一包糖中所占的面分比是在第二包糖中所占百分比的
14、两倍。当两包糖合在一起时，巧克力糖占 28%，那么水果糖所占百分比等于多少？解：由第一包糖的粒数是第二包糖的 2/3 知道，第一包数量：第二包数量=2：3，第一包占总数的 2/（2+3）=2/5，第二包占总数的 3/5；由巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍知道，第一包糖中巧克力糖占总数的比：第二包糖中巧克力糖占总数的比=2*2/5：3/5=4：3，因为当两包糖合在一起时，巧克力糖占 28%，所以，第一包糖中巧克力糖占总数的比=28*4/（4+3）=16，巧克力糖在第一包糖中所占的百分比=16/（2/5）=40%，所以，水果糖在第一包糖中所占的百分比=100%-25%
15、-40%=35%，水果糖在总数中所占的比=35%*2/5+50%*3/5=44%。12、某次数学竞赛设一、二、三等奖。已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20%；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50%；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？解：1、甲、乙两校获一等奖的人数相等，且甲校获一奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为 5:6，甲乙两校获奖总人数的比=6：5；甲校占两校获奖
16、总数的比=6/（6+5）=6/11，乙校=5/11；2、甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 50%，占两校获奖总人数的比=（6/11）*50%=3/11；3、甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 20%，且甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 4.5 倍，所以，甲校获二等奖的人数占总数的比=（4.5/5.5）*20%=9/55；所以，甲校获一等奖的人数占两校获奖总数的比=6/11-3/11-9/55=6/55，占该校总数的比=（6/55）*（11/6）=1/5=20%，那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分比=20%*6/5=24%。13、某校毕业生共有 9 个班，每班人
17、数相等，已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多 1。那么该校毕业生中男、女人数比是多少？夜风非常冷整理解：14、某商品按原定价出售，每件利润为成本的 25%。后来按原定价的 90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了 1.5 倍。问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？解：本题可以采用设数法，假设降价前每天销售 100 件，每件原定价 100 元，则原来每天利润: 100*（1-4/5）*100=2000 元，降价后每天利润：100*（90%-4/5）*100*（1+1.5）=2500 元，每天利润增加=（
18、2500-2000）/2000=1/4=25%。15、赢利百分数=（卖出价-买入价）/买入价100%。某电子产品去年按定价的 80%出售，能获得 20%的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的 75%出售，却能获得 25%的赢利。那么今年买入价/去年买入价是多少？ 解：本题同样可以用设数法来解，假设定价为 100 元，那么，去年买入价=去年卖出价*5/6=100*80%*5/6=200/3 元，今年买入价=今年卖出价*4/5=100%*75*4/5=60 元，所以，今年买入价/去年买入价=60/（200/3）=9/10。小学奥数专题讲座之行程问题斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都作出了开创
19、性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教了如下一个问题： 每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜，试问，每条从哈佛开出后的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？ 你能试着给出解答吗？ 练习题 夜风非常冷整理1A、B 两城相距 450 千米，甲、乙两辆汽车同时从 A 城开往 B 城 ，甲车每小时行 52 千米，乙车每小时行 38 千米，甲车到达 B 城后立即返回，两车从出发到相遇共需多少小时？ 分析：根据题意画图如下 从图中可知，两车从出发到相遇所走的路程正好是两个 A、B 城之间的距离，所以两车从出发到
20、相遇所用的时间相当于两车行了两个 450 千米所需的时间。 解答：4502（52+38） =90090 =10（时） 答：两车从出发到相遇共需 10 小时。 2哥哥以每分钟 50 米的速度从学校步行回家，12 分钟后弟弟从学校出来骑车追哥哥，结果在距学校800 米处追上哥哥。求弟弟骑车的速度。 分析：根据题意画图如下 当弟弟追上哥哥时，距学校 800 米。这 800 米是哥哥两次所行路程的和，一次是 12 分钟内行的路程，另一次是弟弟从出发到追上哥哥所用时间内（追及时间）哥哥行的路程。 解答：弟弟追上哥哥的时间（追及时间） （8001250）50 =（800600）50 =20050 =4（分
21、） 弟弟的速度 8004=200（米） 答：弟弟骑车每分钟行 200 米。 3东、西两镇相距 100 千米，甲、乙两车分别从两镇同时出发相向而行，4 小时后相遇。已知甲比乙每小时快 3 千米，甲、乙两车的速度是多少？ 分析：100 千米是两车所行的总路程，4 小时为相遇时间。根据相遇问题的数量关系式，就可求出两车的速度和。又已知两车的速度差，根据和差问题，两车速度就解决了。 解答：两车速度和 1004=25（千米） 甲的速度 （25+3）2=14（千米） 乙的速度 2514=11（千米） 答：甲的速度为每小时 14 千米，乙的速度为每小时 11 千米。 4一辆货车以每小时 65 千米的速度前进
22、，一辆客车在它的后面 1500 米处，以每小时 80 千米的速度同向行驶，客车在超过货车前 2 分钟，两车相距多少米？ 分析：客车超过货车的一瞬间，也就是客车追上货车，这时两车所行的路程是相等的。客车超过货车前2 分钟两车相距的路程即客车与货车 2 分钟内的路程差。 解答：客车与货车 1 小时的路程差 8065=15（千米） 客车与货车 2 分钟的路程差 151000602=500（米） 答：客车在超过货车前 2 分钟，两车相距 500 米。 说明：做完题后回过头来再想一想，发现已知条件客车在货车后面 1500 米是多余的，不管开始两车相距多远，客车在超过货车前 2 分钟，两车相距的路程是不变
23、的。本题还要注意单位的互化。 夜风非常冷整理5甲乙两人骑车同时从南北两地相向而行，甲每小时行 23 千米，乙每小时行 18 千米，两人在距两地中点 10 千米处相遇，南北两地相距多少千米？ 分析：根据题意画图如下 从图中可以看出，甲走了南北距离的一半多 10 千米，乙走了南北距离的一半少 10 千米。从出发到相遇，甲比乙多走了两个 10 千米。又已知甲每小时比乙多行 2318=5（千米） 多少小时后甲就比乙多行 20 千米？这个时间就是甲乙相遇时间，有了相遇时间，南北两地的距离就可求出了。 解答：甲乙相遇时间 102（2318） =205 =4（时） 南北全程 （23+18）4 =414 =1
24、64（千米） 答：南北两地相距 164 千米。 说明：本题表面现象是相遇，实质上有追及的特点。因此可以按照追及问题来解答。在做题过程中要抓住题目的本质，究竟考虑速度和，还是考虑速度差，要针对题目中的条件认真思考。千万不要“两人面对面”就是“相遇” ， “两人一前一后”就是“追及” 。 6小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑 20 米，则小红跑 5 秒就可追上小蓝。若小红让小蓝先跑 4秒钟，则小红 6 秒钟追上小蓝，小红、小蓝的速度各是多少？ 分析：小红让小蓝先跑 20 米，则 20 米就是小红、小蓝的路程差，小红跑 5 秒钟追上小蓝，5 秒就是追及时间，由此可求出他们的速度差。若小红让小蓝先跑
25、 4 秒钟，则小红 6 秒钟追上小蓝，在这个过程中，6秒为追及时间。根据上一个条件，由速度差和追及时间可求出在这个过程中的路程差。这个路程差即是小蓝 4 秒钟所行的路程，因此可求出小蓝的速度。 解答：两人的速度差 205=4（米） 小蓝的速度 644=6（米） 小红的速度 6+4=10（米） 答：小红每秒跑 10 米，小蓝每秒跑 6 米。 7甲乙两站相距 360 千米，客车与货车同时从甲站开往乙站。客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40千米，客车到达乙站后停留半小时，又以原速返回甲站，两车相遇的地点离乙站多少千米？ 分析：由于客车在乙站停留时，货车仍然行驶，因此可以分段考虑。 解答：客车
26、到达乙地的时间 36060=6（时） 客车返回时，货车已行的路程 40（6+0.5）=260（千米） 货车这时距乙地的路程 360260=100（千米） 客车返回与货车相遇时所用的时间 100（40+60）=1（时） 夜风非常冷整理相遇点离乙地的距离 601=60（千米） 答：相遇时距乙地 60 千米。 8甲、乙两人同时从东、西两地分别出发，如果两人同向而行，甲 28 分钟追上乙；如果两人相向而行，8 分钟相遇。已知乙每分钟行 50 米，东西两地相距多少米？ 分析：根据题意画图如下 从图中可以看出甲 288=20（分） 内所走的路程与乙 28+8=36（分） 内所走的路程是相同的，又已知乙的速
27、度，因此可求出甲的速度，东西两地的全程就可求。 解答：甲的速度 50（28+8）（288） =503620 =180020 =90（米） 东西两地间距离 （90+60）8 =1508 =1200（米） 答：东西两地相距 1200 米。 9甲乙两人从相距 50 千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时行 6 千米，乙每小时行 4 千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 12 千米，这只狗同甲一道出发， ；碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲时又往乙那边跑，直到两人相遇，这只狗一共跑了多少千米？ 分析：对于这道题，读完以后觉得很复杂：要求狗一共跑的路程，就要把狗与乙相遇跑的路程，与甲相遇跑的路程，再与乙
28、相遇跑的路程都求出来，然后再相加，算出结果。但是，仔细想一想，狗在甲乙两人之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量求起来很繁琐。 再认真审题，换个角度思考，不难发现，狗所跑的路程等于狗的速度乘以狗所跑时间。无论狗在甲、乙两人之间要跑多少个来回，狗跑的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间。所以要求狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人的相遇时间。因此原问题就转化成求甲、乙两人相遇时间的问题。 解答：甲乙两人的相遇时间是 50（46）=5（时） 由于甲、乙两人相遇的时间就是狗来回跑所用的时间，所以狗一共跑的路程为 125=60（千米） 答：这只狗一共跑了 60 千米。 说明：有时在解
29、题过程中会被题目中的情节或条件所迷惑，因此这时再换个角度思考就会出现“柳暗花明又一村”的感觉。 10甲乙两人同时从 A、B 两地出发相向而行，两人在离 A 地 90 米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距 B 地 70 米处第二次相遇。两人从第一次相遇到第二次相遇恰好经过了 5 分钟，甲、乙两人的速度是多少？ 分析：根据本讲例 4 分析，先求出 A、B 间距离，再根据所给的时间就可求出两人的速度。 解答：A、B 间距离 90370 =27070 夜风非常冷整理=200（米） 甲的速度 90（52） =902.5 =36（米） 乙的速度
30、 （20070+90）5 =2205 =44（米） 答：甲的速度为每分钟 36 米，乙的速度为每分钟 44 米。 说明：两人第一次相遇时，合行的路程是 A、B 之间的距离。两人从出发到第二次相遇时，合行的路程是三个 A、B 之间的距离，即从第一次相遇到第二次相遇所行的路程应是从出发到第一次相遇的两倍。因此甲从第一次相遇到第二次相遇所行的时间也是从出发到第一次相遇时间的两倍，所以甲行 90 米用了 5 分钟的一半时间。鸡兔同笼一、基本问题 “鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的
31、解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立” ，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只.答：有兔子 34 只，鸡 54 只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单
32、！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 54 只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想 88 只都是“鸡” ，那么共有脚 28
33、8=176（只） ，比 244 只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡” ，有 34 只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.夜风非常冷整理上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”
34、有 11 只脚，一种“兔子”有 19 只脚，它们共有16 个头，280 只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是“兔子” ，8 只是“鸡” ，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240.比 280 少 40.40（19-11）=5.就知道设想中的 8 只“鸡”应少 5 只，也就是“鸡” （
35、蓝铅笔）数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性，*心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想 16 只中， “兔数”为 10， “鸡数”为 6，就有脚数1910+116=256.比 280 少 24.24（19-11）=3，就知道设想 6 只“鸡” ，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时.甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成
36、 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数） ，甲每小时打 306=5（份） ，乙每小时打 3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是 7.“兔”的脚数是5， “鸡”的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-37）（5-3）=4.5，“鸡”数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时.答：甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁.四年后（2002 年）父的年龄是弟的年龄的 4
37、 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解：4 年后，两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的夜风非常冷整理年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25 是“总头数”.86 是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（254-86）（4-3）=14（岁）.1998 年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14）4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁）.这是 2003 年.答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的
38、 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）.答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉.例 6
39、某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1道的有 7 人，5 道全对的有 6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（2+3）2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做对 4 道题的有 31 人.习题一1.龟鹤
40、共有 100 个头，350 只脚.龟、鹤各多少只？2.学校有象棋、跳棋共 26 副，恰好可供 120 个学生同时进行活动.象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副.象棋和跳棋各有几副？3.一些 2 分和 5 分的硬币，共值 2.99 元，其中 2 分硬币个数是 5 分硬币个数的 4 倍，问 5 分硬币有多少个？4.某人领得工资 240 元，有 2 元、5 元、10 元三种人民币，共 50 张，其中 2 元与 5 元的张数一样多.那么 2 元、5 元、10 元各有多少张？5.一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了
41、 16 天.甲先做了多少天？夜风非常冷整理6.摩托车赛全程长 281 千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3 千米）、一段平路（4 千米） 、一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的；有的是由一段上坡路（3 千米） 、一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了 25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7.用 1 元钱买 4 分、8 分、1 角的邮票共 15 张，问最多可以买 1 角的邮票多少张？巧设单位“”解答行程难题解答行程问题一般都要有路程、速度、时间三种量中的任意两个量。但是，在一些竞赛题中，往往只有时间这一种
42、量，根本不明示两个运动体的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中发生的，因此，给解题增加了一定的难度。如果在解答的过程中，能根据题意恰当地设某段路程为单位“” ，以此为标准，来度量两个或几个运动 体在不同的时间内，所行驶的路程的长短，这样，就能使数量关系明朗化，就能驾轻就熟，将问题化难为易。例 甲、乙、丙三人各以一定的速度，从地到地，丙出发分钟后乙才出发，乙用分钟追上丙 ；甲又比乙晚出发分钟，经过分钟才追上丙。甲出发后，需用多少分钟才能追上乙？三才析解 设乙追上丙所走的这段路程为单位“” ，则 乙每分钟能行这段路程的；丙每分钟能行这 段路程的（）；根据“丙出发分钟后乙才出发” 、 “甲又比乙晚出
43、发分钟” ，则甲比丙晚出发分钟。因此，当甲 出发时，丙已行驶了这段路程的。甲追上丙，比丙多行了这段路程的，花了 分钟。根据追及问题的关系式，可知甲比丙每分钟多行这段路程的。因此，甲每分钟能行这段路程的（）。通过所设的乙追上丙所走的这段路程为单位“” ，已推出了甲和乙速度之间的关系，因而甲追上乙所需 的时间就可知是（）（）（分）例 某人沿公路骑自行车匀速前进。他发现这一公路上的公共汽车，每隔分钟就有一辆车超过他， 每隔分钟就有一辆车和他迎面相遇。如果这路车的两个车站，都以间隔相同的时间发一辆车，那么，每隔 多少分钟发一辆车？三才析解 由于两个车站都是以间隔相同的时间发车，所以在这两个车站间的这段
44、公路上，不论是什么时刻，同 向行驶的所有车辆，两车间的距离都是相等的。如果把这两车间的间距设为单位“” 。题中“每隔分钟 就有一辆车超过他” ，即自行车和汽车同向前进，汽车比自行车多行一个“间距” ，需分钟，也就是每分 钟汽车比自行车多行“间距”的（速度差） ；“每隔分钟就有一辆车和他迎面相遇” ，同样可知 ，自行车和汽车在一分钟内，能共行“间距”的（速度和） 。已知自行车和汽车在分钟内的速度的“和”与“差” ，由和差问题的关系式，可知汽车每分钟能行“间 距”的（）。因此，这路车发车的间隔时间为（）（分）例 甲骑自行车到城里去办事，走后，乙发现他忘了一物，立即骑摩托车去追，乙追了分钟还没追 上
45、，连忙问路旁的人，路旁的人回答说：“甲在分钟前经过这里。 ”乙看看手表，这时离甲出发时间一小 时。乙需再行几分钟就能追上甲？三才析解 “乙追了分钟还没追上” ，如果把乙追甲这分钟所行的这段路程看作单位“” ，那么乙每 分夜风非常冷整理钟可行这段路程的。由题中条件可知，甲已出发一小时，并在分钟前经过这里，说明甲走这段 路程花了（分）钟，可知，甲每分钟能行这段路程的，并且还可以推知，当乙询问 路旁人时，乙还距甲的路程是这段路程（单位“” ）的，根据追及问题的关系式， 可以求得乙还需多少分钟才能追上甲，因此，本题的综合算式是：（）（） （分）这类题，单位“”的确定，关键是确定一个与诸多因素相关联的可
46、比量。这类题同样可以有多种解法，不过从确立单位“”这个角度来解答，一方面与小学生知识联系紧密，轻车熟路，另一方面也可以培养学生 在根据条件确立单位“”的过程中，提高学生的分析判断能力。问：有 50 名同学在操场上活动，其中有 18 名女生。活动项目是长跑和跳绳，如果有 31 名同学跳绳，有14 名男生长跑，那么女生跳绳的有多少人？解：男生人数：50-18=32 人跳绳男生人数：32-14=18 人跳绳女生人数：31-18=13 人答：跳绳的女生有 13 人。问：要从 10 个篮球，10 个足球和 10 个排球中拿出 3 个球，一共有多少种拿法？解：第一类：三个球都一样时的方法：3 种；第二类：
47、三个球中有两个一样时的方法：6 种；第三类：三个球都不一样时的方法：1 种；一共的方法：3+6+1=10 种；答：一共有 10 种拿法。问： 40 名同学做道数学题时有 25 人做对第一题，有 28 人做对第二题，有 31 人做对第 3 题，至少有多少人做对了三道题？40-40-25+40-28+40-31=4不知道这样做对不对答：对；学生分两类：一类是做对 3 道题的；一类是至少错一道题的；至少错一道题的最多人数：（40-25）+（40-28）+（40-31）=36；对 3 道题的最少人数：40-36=4；小张加工一批零件，第一天加工了这批零件的 30%，第二天比第一天少加工了 20 个，这
48、时候正好加工了这批零件的一半，问这批零件共几个？分析与解答：因为 30%3/10，一半即为 1/25/10，因此可将这批零件平均分成 10 份。根据题意，可知第一天加工了其中的 3 份，两天共加工了其中的 5 份，第二天正好加工了其中的：532 份，比第一天少加工了：321 份，这 1 份正好是少加工的 20 个，因此这批零件个数为：2010200（个） 。夜风非常冷整理某水果店原有苹果若干千克，后来又运来一批苹果，运来的苹果正好是原有苹果的 5/8，第一天卖出了运来苹果的 1/5，这时候共剩下的苹果比水果店原有的苹果多 250 千克，问水果店原有苹果多少千克？分析与解答：因为后来运来的苹果正好是原有苹果的 5/8，因此可将水果店原有的苹果平均分成 8 份，那么后来又运来的苹果相当于其中的 5 份，第一天卖出了 5 份中的 1 份，还剩下 4 份，正好是原有苹果的一半（481/2） ，即比原有的苹果多一半，正好多 250 千克，因此可得原有苹果为：2502500（千克） 。某校五年级有三个班， （1）班人数占全年级人数的 10/33， （3）班比（2）班人数多
