1、2017 届北京市东城区重点中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1. 已知集合 ， ，若 ，则的取值范围为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，由 ，得 ，故选 点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】 是增函数，非奇非偶 ， 在定义域内既有增区间也有减区间， 定义域为 ，
2、非奇非偶， 故选：B3. 若向量， 满足 ，且 ，则向量， 的夹角为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意得， ，即 ， ，计算得出 ，则向量， 的夹角是 ，故选：C4. 已知命题 ， ，那么下列结论正确的是（ ）.A. 命题 ， B. 命题 ，C. 命题 ， D. 命题 ，【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题考点：全称命题与特称命题5. 已知， ，下列四个条件中，使 成立的必要而不充分的条件是（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ，反之不成立，因此 是 的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：若命题
3、 成立，则 是 的充分条件， 是 的必要条件6. 已知向量 ， ，则下列向量可以与 垂直的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 ， ， ， ，向量 可以与 垂直，故选： 7. 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像（ ）.A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位【答案】D【解析】分别把两个函数解析式简化为 ，函数 ，又 ，可知只需把函数 的图象向左平移 个长度单位，得到函数 的图象，故选：8. 已知数列 满足 ， ，定义数列 ，使得 ， ，若 ，则数列 的最大项为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】数列 满
4、足 ， ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ， ， 的最后一个正项是 ， 中，当 时，数列 取最大项 故选 点睛： 等差数列 ，其通项 是关于 的一次型函数，当 时， 是关于 的单调增函数，当 时，是关于 的单调减函数，当 时， 是常函数.本题解题的关键是明确在何时发生转折，由正到负或由负到正.二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9. 已知 ， ， ，则， ，的大小关系为_.【答案】【解析】 ， ， ，即 ， ， ， ，的大小关系为 故答案为： 10. 若 ，则 的值是_.【答案】【解析】把 两边平方得： ，即 ，解得： 故答案为： 点睛：利用 sin2 cos 2
5、 1 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 tan 可以实现角 的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos)212sin cos ，可以知一求二；注意公式逆用及变形应用：1sin 2 cos 2 ，sin 2 1cos 2 ，cos 2 1sin 2 .11. 计算 _.【答案】【解析】故答案为：12. 如图，正方形 中， 为 的中点，若 ，则 的值为_.【答案】【解析】由题意正方形 中， 为 的中点，可知： 则 的值为： 故答案为：13. 函数 的部分图像如图所示，其中 、 两点间距离为 ，则_.【答案
6、】【解析】 ， ， ， ， 故答案为：14. 设函数 的定义域为 ，若函数 满足下列两个条件，则称 在定义域 上是闭函数.在 上是单调函数；存在区间 ，使 在 上值域为 .如果函数 为闭函数，则 的取值范围是_.【答案】【解析】若函数 为闭函数，则存在区间 ，在区间 上，函数 的值域为 ，即 ， 是方程 的两个实数根，即， 是方程 的两个不相等的实数根，当 时，解得 ；当 时，解得 无解综上，可得 故答案为： 点睛：本题充分体现了方程、不等式、函数的联系，由闭函数转化为方程有解，方程有解转化为解不等式组，从而得到了答案.这种问题最简单的体现“三个”二次的关系.三、解答题（共 6 小题，满分 8
7、0 分）15. 已知等差数列 满足： ， ，其中 为数列 的前 项和.（I）求数列 的通项公式.（II）若 ，且 ， ， 成等比数列，求 的值.【答案】() ；()4.【解析】试题分析：（1）利用等差数列基本公式求数列 的通项公式；（2）利用等比中项构建关于 的方程，解之即可.试题解析：（I）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 ， ，得 ，解得 （II） ，由 ， ， 成等比数列，得 ，解得 16. 已知 的三个内角分别为 ， ， ，且 .（I）求 的度数.（II）若 ， ，求 的面积 .【答案】 （I） （II）【解析】试题分析：（1）由内角和定理及商数关系可得 ，从而得到 的度数；（2）
8、由余弦定理，求出 ，进而得到 的面积 .试题解析：（I） ， ， ，又 为三角形内角， ， ，而 为三角形内角， ，综上所述， 的度数为 （II）由余弦定理 ， ， ， ， ， 或 （舍去） ， ，综上所述， 的面积 为 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. 已知函数 ， .（I）当 时，求函数 的单调区间.（II）若
9、函数 在区间 上是减函数，求实数的取值范围.【答案】()单调递增区间是 ，单调递减区间是 () 或 【解析】试题分析：（1）当 时， ,解导不等式，得到函数 的单调区间；（2）函数 在区间 上是减函数，推得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，利用“三个”二次的关系得到实数的取值范围.试题解析：（I）当 时， ，定义域是 ，由 ，解得 ；由 ，解得 ；所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 （ ）因为函数 在区间 上是减函数，所以 在 上恒成立，则 ，即 在 上恒成立当 时， ，所以 不成立当 时， ， ，对称轴 ，即 ，解得 综上所述，实数的取值范围为 ， 18. 已知函数 .（I）求 的值.（II）求函数 的最小正周期及单调递减区间.【答案】 （I） （II）见解析【解析】试题分析：（1）把 代入函数 ，即可求得 的值；（2）明确函数的定义域，化简函数可得：，从而得到函数 的最小正周期及单调递减区间.试题解析：（I）由函数的解析式可得：（II） ，得 ， ，故 的定义域为 因为 ，所以 的最小正周期为 由 ， ， ，得 ， ， ，所以， 的单调递减区间为 ， ， 19. 设函数 .（I） 时，求函数 的增区间.（II）当 时，求函数 在区间 上的最小值.【答案】() ；()答案见解析.
