1、2015-2016 学年北京民大附中高三（上）适应性数学试卷（文科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1若全集为实数 R，集合 A=x|2x1|3，B=x|y= ，则（ RA）B= （ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|1x2 D2 “lnx1”是“ x1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3方程（k6） x2+ky2=k（k6）表示双曲线，且离心率为 ，则实数 k 的值为（ ）A4 B6 或 2 C 6 D24下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（ ） ，p1：|z|=2，p2：z 2=2i，p3：z 的共轭复数
2、为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap 2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 45下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）Ay= By=Cy=e x+ex Dy= x|x|6已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 给定若 M（x，y）为 D 上的动点，点A 的坐标为（ ，1） ，则 z= 的最大值为（ ）A4 B3 C4 D37若双曲线 =1（a0，b0）的渐近线与圆（ x2） 2+y2=2 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （2，+） B （1，2） C （1， ） D （ ，+）8在棱长为 1 的正方形 ABCDA1B1C1D1
3、 中，点 F 是棱 CC1 的中点，P 是正方体表面上的一点，若D1PAF，则线段 D1P 长度的取值范围是（ ）A （0， ） B （0， C （0， D （0， 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知向量 =（6，2） ，向量 =（y，3） ，且 ，则 y 等于 10某流程框图如图所示，则输出的 s 的值是 ；11一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为 个12已知等差数列a n中，a 3+a7=16，S 10=85，则等差数列a n公差为 13设 O 为坐标原点，给定一个点 A（4，3） ，而点 B（x，0）在 x
4、轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB 的长，则OAB 中两边长的比值 的最大值为 14设集合 A=0， ） ，B= ，1，函数 f（x）= ，若 f（x 0）A，则 x0 的取值范围是 ；若 x0A，且 ff（x 0） A，则 x0 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15已知函数 f（x）= sin2x+sinxcosx （x R） （1）若 ，求 f（x）的最大值；（2）在ABC 中，若 AB，f （A ）=f（B）= ，求 的值16调查某初中 1000 名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦 正常 肥胖女生（人） 100 173 y男生（人） x 177 z已知从这批
5、学生中随机抽取 1 名学生，抽到偏瘦男生的概率为 0.15（）求 x 的值；（）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取 50 名，问应在肥胖学生中抽多少名？（）已知 y193，z193，肥胖学生中男生不少于女生的概率17如图，菱形 ABCD 的边长为 6，BAD=60，ACBD=O将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 BACD，点 M 是棱 BC 的中点， （）求证：OM平面 ABD；（）求证：平面 ABC平面 MDO；（）求三棱锥 MABD 的体积18已知函数 f（x）= （1）求 f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线 y=f（x）的切线 l 的斜率为正数时，求 l 在 x
6、 轴上的截距和取值范围19已知椭圆 + =1（ab0）的离心率为 ，长轴长为 2 ，直线 l：y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A，B（1）求椭圆的方程；（2）若以 AB 为直径的圆恰过坐标原点 O，证明：原点 O 到直线 l 的距离为定值20已知首项为 的等比数列a n不是递减数列，其前 n 项和为 Sn（nN *） ，且 S3+a3，S 5+a5，S 4+a4 成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）设 Tn=Sn （nN *） ，求数列T n的最大项的值与最小项的值2015-2016 学年北京民大附中高三（上）适应性数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5
7、 分，共 40 分）1若全集为实数 R，集合 A=x|2x1|3，B=x|y= ，则（ RA）B= （ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|1x2 D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 补集与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得： 2x13 或 2x13，解得：x2 或 x1，即 A=x|x 1 或 x2， RA=x|1 x2，由 B 中 y= ，得到 x10，即 x1，B=x|x1，则（ RA） B=x|1x2，故选：B2 “lnx1”是“ x1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充
8、要条件 D既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由于对数的真数要大于 0，得 xe，从而可判断由谁推出谁的问题【解答】解：lnx1x e，所以“ lnx1”是“x1”的充分不必要条件，选择 A3方程（k6） x2+ky2=k（k6）表示双曲线，且离心率为 ，则实数 k 的值为（ ）A4 B6 或 2 C 6 D2【考点】双曲线的简单性质【分析】将方程转化成 + =1，根据双曲线的性质，根据焦点在 x 轴和 y 轴，由 e= = ，代入即可求得 k 的值【解答】解：将方程转化成： + =1，若焦点在 x 轴上， ，即 0k6，a= ，c=
9、 ，由 e= = = ，解得：k=2，若焦点在 y 轴上，即 ，无解，综上可知：k=2，故选：D4下面是关于复数 z= 的四个命题：其中的真命题为（ ） ，p1：|z|=2，p2：z 2=2i，p3：z 的共轭复数为 1+i，p4：z 的虚部为1Ap 2，p 3 Bp 1，p 2 Cp 2，p 4 Dp 3，p 4【考点】复数的基本概念；命题的真假判断与应用【分析】由 z= = =1i，知 ， ，p 3：z 的共轭复数为1+i， p4：z 的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z= = =1i， ，p3：z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，故选 C5下列函数中，是奇函数且在其定义域内
10、为单调函数的是（ ）Ay= By=Cy=e x+ex Dy= x|x|【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】对 4 个选项，分析其奇偶性、单调性，即可得出结论【解答】解：对于 A，函数在（ ，0） 、 （0，+）上单调递增；对于 B，函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于 C，函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于 D，y=x|x |= 在其定义域内为奇函数且为单调增函数故选：D6已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 给定若 M（x，y）为 D 上的动点，点A 的坐标为（ ，1） ，则 z= 的最大值为（ ）A4 B3 C4 D3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域
11、【分析】首先画出可行域，z= 代入坐标变为 z= x+y，即 y= x+z，z 表示斜率为 的直线在y 轴上的截距，故求 z 的最大值，即求 y= x+z 与可行域有公共点时在 y 轴上的截距的最大值【解答】解：如图所示：z= = x+y，即 y= x+z首先做出直线 l0：y= x，将 l0 平行移动，当经过 B 点时在 y 轴上的截距最大，从而 z 最大因为 B（ ，2） ，故 z 的最大值为 4故选：C7若双曲线 =1（a0，b0）的渐近线与圆（ x2） 2+y2=2 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A （2，+） B （1，2） C （1， ） D （ ，+）【考点】双曲线的
12、简单性质【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得 a 和 b 的关系，进而利用 c2=a2+b2 求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为 bxay=0，与圆（x2） 2+y2=2 相交圆心到渐近线的距离小于半径，即b 2a 2，c 2=a2+b22a 2，e= e11e故选 C8在棱长为 1 的正方形 ABCDA1B1C1D1 中，点 F 是棱 CC1 的中点，P 是正方体表面上的一点，若D1PAF，则线段 D1P 长度的取值范围是（ ）A （0， ） B （0， C （0， D （0， 【考点】点、线、面间的距离计算
13、【分析】由 P 是正方体表面上的一点，且 D1PAF，可得点 P 在对角线 BD 及其 B1D1 上，利用正方体的性质即可得出【解答】解：由 P 是正方体表面上的一点，且 D1PAF，可得点 P 在对角线 BD 及其 B1D1 上，当点 P 取点 B 时，线段 D1P 长度取得最大值 D1B= ，线段 D1P 长度的取值范围是 故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9已知向量 =（6，2） ，向量 =（y，3） ，且 ，则 y 等于 9 【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出 y 的值【解答】解：向量 =（6， 2） ，向量
14、 =（y，3） ，且 ，2y6 3=0，解得 y=9故答案为：910某流程框图如图所示，则输出的 s 的值是 24 ；【考点】程序框图【分析】由图知，每次进入循环体后，新的 s 值是原来的 s 乘以 k 得到的，故由此运算规律进行计算，经过 4 次运算后输出的结果即可【解答】解：由图知 s 的运算规则是：sks，故第一次进入循环体后 s=1，k=2 ，第二次进入循环体后 s=2，k=3 ，第三次进入循环体后 s=6，k=4 ，第四次进入循环体后 s=24，k=5，由于 k=54，退出循环故该程序运行后输出的结果是：24故答案为：2411一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表
15、面的直角三角形的个数为 4 个【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得：原几何体为三棱锥 PABC：PA 平面 ABC，BC平面 PAC即可得出答案【解答】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥 PABC： PA平面 ABC，BC平面 PAC因此表面 4 个三角形都为直角三角形故答案为：412已知等差数列a n中，a 3+a7=16，S 10=85，则等差数列a n公差为 1 【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 3+a7=16，S 10=85，2a 1+8d=16，10a 1+ d=85，解得：d=1则等
16、差数列a n公差为 1故答案为：113设 O 为坐标原点，给定一个点 A（4，3） ，而点 B（x，0）在 x 轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB 的长，则OAB 中两边长的比值 的最大值为 【考点】正弦定理【分析】在三角形 AOB 中，利用正弦定理即可表示出两条边的比值 ，然后根据三角函数的定义求出sinAOB 的值，两边的比值最大即 sinA 等于 1，利用 sinA 等于 1 和求出的 sinAOB 的值即可得到比值的最大值【解答】解：在AOB 中，由正弦定理得： =即 = ，且 sinAOB= = ，因为 A 为定点，得到AOB 不变，所以当 sinA=1 时，OAB 中两边长的比
17、值 取最大，最大值为 = 故答案为： 14设集合 A=0， ） ，B= ，1，函数 f（x）= ，若 f（x 0）A，则 x0 的取值范围是 （2 ，1 ；若 x0A，且 ff（x 0）A，则 x0 的取值范围是 （ ， ） 【考点】分段函数的应用【分析】结合已知中集合 A=0， ） ，B= ，1，函数 f（x）= ，分类讨论，分别求出满足 f（x 0）A 和 ff（x 0） A 的 x0 的范围，可得答案【解答】解：当 x0A=0， ）时，f（x 0） ，1） ，不存在满足 f（x 0）A 的 x0 值；当 x0B= ，1，时，f（x 0）0，log 2 ，由 f（x 0）A=0， ）得：x
18、 0（2 ，1，综上可得：x 0 的取值范围是（2 ，1，由 ff（x 0） A=0， ）得： f（x 0）（2 ，1，又由 x0A=0， ）时，f（x 0） ，1） ，可得：x 0（ ， ） 故答案为：（2 ，1， （ ， ）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15已知函数 f（x）= sin2x+sinxcosx （x R） （1）若 ，求 f（x）的最大值；（2）在ABC 中，若 AB，f （A ）=f（B）= ，求 的值【考点】三角函数的最值；正弦定理【分析】 （1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据 x 的范围，确定 ，然后求出函数的最大值（2）利用 AB，f（A）=f（B）= ，求出 A，B 的大小，然后求出 C 的值，利用正弦定理求出 的值【解答】解：（1）f（x）= +=sin（2x ） 当 时，即 x= 时，f （x）的最大值为 1
