1、数学思维的教育1第一讲：因式分解(一) .1第二讲：因式分解(二) .4第三讲 实数的若干性质和应用 7第四讲 分式的化简与求值 10第五讲 恒等式的证明 13第六讲 代数式的求值 16第七讲 根式及其运算 19第八讲 非负数 23第九讲 一元二次方程 27第十讲 三角形的全等及其应用 31第十一讲 勾股定理与应用 35第十二讲 平行四边形 38第十三讲 梯形 41第十四讲 中位线及其应用 45第十五讲 相似三角形(一) .47第十六讲 相似三角形(二) .50第十七讲* 集合与简易逻辑 54第十八讲 归纳与发现 59第十九讲 特殊化与一般化 63第二十讲 类比与联想 67第二十一讲 分类与讨
2、论 70第二十二讲 面积问题与面积方法 74第二十三讲 几何不等式 77第二十四讲* 整数的整除性 81第二十五讲* 同余式 84第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 87第二十七讲 列方程解应用问题中的量 91第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 95第二十九讲 生活中的数学(三 ) 镜子中的世界 98第三十讲 生活中的数学(四)买鱼的学问 .99第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能
3、，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a 22ab+b2=(ab)2；(3)a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3ab
4、c=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；(8)a n-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；(9)a n+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中 n 为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz
5、；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a 7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2x n-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2x n-1yn(x2n-y2)2 =-2x n-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a 2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b) 2+2c(a-b)+c2=(a-b+c) 2本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下
6、：原式=a 2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)数学思维的教育2=(a-b+c) 2(4)原式=(a 7-a5b2)+(a2b5-b7)=a 5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a 2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a 3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+
7、b)这个 式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b3+c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0 时，则 a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立如果令 x=
8、a30，y=b 30，z=c 30，则有等号成立的充要条件是 x=y=z这也是一个常用的结论例 3 分解因式：x 15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项x15开始，x 的次数顺次递减至 0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x 16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因
9、式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例 4 分解因式：x 3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法 1 将常数项 8 拆成-1+9原式=x 3-9x-1+9=(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 2 将一次项-9x 拆成 -x-8x原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-
10、1)-8(x- 1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 3 将三次项 x3拆成 9x3-8x3原式=9x 3-8x3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x3+8)数学思维的教育3=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 4 添加两项-x 2+x2原式=x 3-9x+8=x 3-x2+x2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种
11、例 5 分解因式：(1)x 9+x6+x3-3；(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1) 4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3 拆成-1- 1-1原式=x 9+x6+x3-1-1-1=(x 9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x 3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn原式=(m 2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m 2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m 2n2
12、+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x 2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1) 4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x 2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a 3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a -
13、b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b 2+1)=a(a-b)+1(ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例 6 分解因式：(x 2+x+1)(x2+x+2)-12分析 将原式展开，是
14、关于 x 的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将 x2+x 看作一个整体，并用字母 y 来替代，于是原题转化为关于 y 的二次三项式的因式分解问题了解 设 x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x 2+x+5)说明 本题也可将 x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例 7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x
15、+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令 y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y 2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x 2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1)数学思维的教育4说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础例 8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设 x2+4x+8=y，则原式=y 2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x
16、+8)说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例 9 分解因式：6x 4+7x3-36x2-7x+6解法 1 原式=6(x 4+1)7x(x 2-1)-36x2=6(x 4-2x2+1)+2x2+7x(x 2-1)-36x2=6(x 2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x 2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x 2-1)-3x3(x 2-1)+8x=(2x 2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x -1)(x+3)说明 本解法实际上
17、是将 x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法 2原式=x 26(t2+2)+7t-36=x 2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x 22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x 2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例 10 分解因式：(x 2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式解 原式=(x+y)
18、2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，则原式=(u 2-v)2-4v(u2-2v)=u 4-6u2v+9v2=(u 2-3v)2=(x 2+2xy+y2-3xy)2=(x 2-xy+y2)2第二讲：因式分解(二)1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按 x 降幂排列，并把 y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于 x 的二次三项式对于常数项而
19、言，它是关于 y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于 x 的二次三项式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)数学思维的教育5上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式 ax2+bx
20、y+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 dx例 1 分解因式：(1)x 2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x 2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y 2+x-y-2；(4)6x 2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺 x2项，可把这一项的系数看
21、成 0 来分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似2求根法我们把形如 anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关于 x 的一元多项式，并用 f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x 2-3x+2，g(x)=x 5+x2+6，当 x=a 时，多项式 f(x)的值用 f(a)表示如对上面的多项式 f(x)f(1)=1 2-31+2=0；f(-2)=(-2) 2-3(-2)+2=12若 f(a)=0，则称 a 为多项式 f(x)的一个根定理 1(因式定理) 若 a 是一元多项式
22、f(x)的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x)有一个因式 x-a根据因式定理，找出一元多项式 f(x)的一次因式的关键是求多项式 f(x)的根对于任意多项式 f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理 2 的根，则必有 p 是 a0的约数，q 是 an的约数特数学思维的教育6别地，当 a0=1 时，整系数多项式 f(x)的整数根均为 an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解例 2 分解因式：x 3-4x2+6x-4分析 这是一个整系数一元多项
23、式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个检验-4 的约数：1，2，4，只有f(2)=2 3-422+62-4=0，即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 x-2解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)原式=(x 3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2)解法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x 2-2x+2)说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4 的约数逐个代入多项
24、式进行验证例 3 分解因式：9x 4-3x3+7x2-3x-2分析 因为 9 的约数有1，3，9；-2 的约数有1，为：所以，原式有因式 9x2-3x-2解 9x 4-3x3+7x2-3x-2=9x 4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x 2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x 2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为 9x2-3x-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式 f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(
25、x)，而 g(x)是比 f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对 g(x)进行分解了3待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例 4 分解因式：x 2+3xy+2y2+4x+5y+3分析 由于(x 2+3
26、xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和 xyn 的形式，应用待定系数法即可求出 m 和 n，使问题得到解决解 设x 2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x 2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有数学思维的教育7解之得 m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下例 5 分解因式：x 4-2x3-27x2-44x+7分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是1，
27、7(7 的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(x 2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 设原式=(x 2+ax+b)(x2+cx+d)=x 4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由 bd=7，先考虑 b=1，d=7 有所以原式=(x 2-7x+1)(x2+5x+7)说明 由于因式分解的唯一性，所以对 b=-1，d=-7等可以不加以考虑本题如果 b=1，d=7 代入方程组后，无法确定 a，c 的值，就必须将 bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止本题没有一次因式，因而无法运用求根法分
28、解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地第三讲 实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念这一概念对中学生而言，有一定难度但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用用于解决许多问题，例如，不难证明：任
29、何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的性质 1 任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然例 1分析 要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式证 设两边同乘以 100 得-得99x=261.54-2.61=258.93 ，数学思维的教育8无限不循环小数称为无理数有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质 性质 2 设 a 为有理数，b 为无理数，则(1)a+b，a-b 是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，
30、也没有最大的实数任意两个实数，可以比较大小全体实数和数轴上的所有点是一一对应的在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数例 2分析证所以分析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法证 用反证法所以 p 一定是偶数设 p=2m(m 是自然数)，代入得4m 22q 2，q 22m 2，例 4 若 a1+b1a=a2+b2a(其中 a1，a 2，
31、b 1，b 2为有理数，a 为无理数)，则 a1=a2，b 1=b2，反之，亦成立分析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明证 将原式变形为(b 1-b2)a=a2-a1若 b1b 2，则反之，显然成立说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质数学思维的教育9是无理数，并说明理由整理得：由例 4 知aAb，1=A，说明 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础例 6 已知 a，b 是两个任意有理数，且 ab，求证：a 与 b 之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)分析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明证 因为 ab，所以
32、2aa+b2b，所以说明 构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法例 7 已知 a，b 是两个任意有理数，且 ab，问是否存在无理数 ，使得 ab 成立？即 由，有存在无理数 ，使得 ab 成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法14=9+6b+b 2，所以 b2+6b=5b 4+12b3+37b2+6b-20=(b 4+26b3+36b2)+(b
33、2+6b)-20=(b 2+6b)2+(b2+6b)-20=5 2+5-20=10例 9 求满足条件的自然数 a，x，y解 将原式两边平方得由式变形为数学思维的教育10两边平方得例 10 设 an是 12+22+32+n2的个位数字，n=1，2，3，求证：0.a 1a2a3an是有理数分析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数所以，要证 0.a1a2a3an是有理数，只要证它为循环小数因此本题我们从寻找它的循环节入手证 计算 an的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1
34、，0，4，发现：a20=0，a 21=a1，a 22=a2，a 23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，说明 0.a1a2an是由 20 个数字组成循环节的循环小数，即下面证明 ak+20=ak令 f(n)=12+22+n2，当 f(n+20)-f(n)是 10 的倍数时，表明 f(n+20)与 f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1) 2+(n+2)2+(n+20)2=10(2n 2+42n)+(12+22+202)由前面计算的若干值可知：1 2+22+202是 10 的倍数，故 ak+20=ak成立，所以 0.a1a2an是一个有理数第四讲 分式的化简与求
35、值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答本讲主要介绍分式的化简与求值例 1 化简分式：分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a- 2)说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式数学
36、思维的教育11例 2 求分式当 a=2 时的值分析与解 先化简再求值直接通分较复杂，注意到平方差公式：a 2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项例 3 若 abc=1，求分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂下面介绍几种简单的解法解法 1 因为 abc=1，所以 a，b，c 都不为零解法 2 因为 abc=1，所以 a0，b0，c0例 4 化简分式：分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧例 5 化简计算(式中 a，b，c 两两不相等)
37、：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a- c)，因此有下面的解法解说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例 6 已知：x+y+z=3a(a0，且 x，y，z 不全相等)，求数学思维的教育12分析 本题字母多，分式复杂若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与 x-a，y- a，z-a 有关，为简化计算，可用换元法求解解 令 x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0由于 x，y，z 不全相等，所以 u，v，w 不全为零，所以 u2+v2+w20，从而有说明
38、 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化例 7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值(x-4) 2=3，即 x2-8x+130原式分子=(x 4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x 2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，说明 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化解法 1 利用比例的性质解决分式问题(1)若 a+b+c0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，- a+b+
39、c=a，于是有(2)若 a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=- b，于是有数学思维的教育13说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解解法 2 设参数法令则a+b=(k+1)c，a+c=(k+1)b，b+c=(k+1)a+有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有 k=1 或 a+b+c=0当 k=1 时，当 a+b+c=0 时，说明 引进一个参数 k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用第五讲 恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式
40、与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一本讲主要介绍恒等式的证明首先复习一下基本知识，然后进行例题分析两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化下面结合
41、例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧1由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)例 1 已知 x+y+z=xyz，证明：x(1-y 2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz分析 将左边展开，利用条件 x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边证 因为 x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z 2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2) =(x+y+z)-xz 2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-
42、zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)- xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边说明 本例的证明思路就是“由繁到简”例 2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x0，y0，z0，且证 令 1989x2=1991y2=1993z2=k(k0)，则又因为数学思维的教育14所以所以说明 本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数 k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立2比较法a=b(比商法)这也是证明恒
43、等式的重要思路之一 例 3 求证：分析 用比差法证明左-右 =0本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以 b 代 a，c 代 b，a 代 c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项具有这种特性的式子叫作轮换式利用这种特性，可使轮换式的运算简化证 因为所以所以说明 本例若采用通分化简的方法将很繁像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧全不为零证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1 -q)(1-r)同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-
44、q)(1-r)说明 本例采用的是比商法3分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论证 要证 a 2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，数学思维的教育15只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立说明
45、 本题采用的方法是典型的分析法例 6 已知 a4+b4+c4+d4=4abcd，且 a，b，c，d 都是正数，求证：a=b=c=d证 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a 2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a 2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因为(a 2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a 2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c -d)0又因为 a，b，c，d 都为正数，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a 2-c2=(a+
46、c)(a-c)=0，所以 ac故 a=bc=d 成立说明 本题采用的方法是综合法4其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c- a)，即 8a+9b+5c=0说明 本题证明中用到了“遇连比设为 k”的设参数法，前面的例 2 用的也是类似方法这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧例 8 已知 a+b+c=0，求证2(a 4+b4+c4)(a 2+b2+
47、c2)2分析与证明 用比差法，注意利用 a+b+c=0 的条件左-右=2(a 4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a 4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a 2-b2-c2)2-4b2c2=(a 2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=a 2-(b-c)2a2-(b+c)2=(a-b+c)(a+b-c)(a-b- c)(a+b+c)=0所以等式成立说明 本题证明过程中主要是进行因式分解分析 本题的两个已知条件中，包含字母 a，x，y和 z，而在求证的结论中，却只包含 a，x 和 z，因此可以从消去 y 着手，得到如下证法证 由已知说明 本题利用的是“消元”
48、法，它是证明条件等式的常用方法例 10 证明：(y+z-2x) 3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)分析与证明 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法令y+z-2x=a，数学思维的教育16z+x-2y=b，x+y-2z=c，则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc联想到乘法公式：a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将，相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a 3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x) 3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)说明 由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力例 11 设 x，y，z 为互不相等的非零实数，且求证：x 2y2z2=1分析 本题 x，y，z 具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以 x2y2=1三元与二元的结构类似证 由已知有得 x
