1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页满分 150 分考试用时 120 分钟考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号答案卸载试卷上无效 3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能
2、使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数 满足 ，其中 为虚数为单位，则ziz23=+i=z（A） （B） （C） （D）i21i21+i21【解析】 设 ，),(Rbaiz则 ，ibiaiz3=+=+所以 ，故选（B）21a=,（2）已知集合 ，则012=,=,)+(2ff )(6f（A）2 （B）1
3、（C）0 （D）2【解析】由 ，知当 时， 的周期为 1，所以 )()+(2xff 21x)(xf )(=16f又当 时， ，所以 1(ff=ff于是 故选 D163)()(f（10）若函数 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则)(=xfy称 具有 性质下列函数具有 性质的是)(fTT（A） （B） （C） （D）xysinxyln=xey=3xy=【解析】 因为函数 ， 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；le函数 的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数都不可能在这两点处的切线互相3xy=垂直,即不具有 性质故选 AT第卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5
4、小题，每小题 5 分，共 25 分（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为 0 和 9，则输出 的值为 i【解析】 时，执行循环体后 ， 不成立；1=81=,baa时，执行循环体后 ， 不成立；2i 63时，执行循环体后 ， 成立；3,所以 ，故填 3.=i（12）若 的展开式中 的系数是 ，则实数 5)+xa1（ 25x80=a开始结束输入 a， b输出 ii=1i=i+1a=a+i ,b=b-iab是否【解析】由 ，5532325 80C)1Cxaxa、得 ，所以应填 =（13）已知双曲线 ，若矩形 的四个顶点在 上，),(=: 012bayxEABCDE的中点为 的两个焦点，且 ，
5、则 的离心率为 CDAB, 3BE【解析】由题意 ，所以 ，c2cA于是点 在双曲线 上，代入方程，得 ，),3（ cE1492=bca在由 得 的离心率为 ，应填 2.2ba=+2 =ce（14）在 上随机的取一个数 ，则事件“直线 与圆 相交”,1kkxy=952=+)(y发生的概率为 【解析】首先 的取值空间的长度为 2，k由直线 与圆 相交，得事件发生时 的取值空间为 ，xy=95=+)(yk43,其长度为 ，所以所求概率为 ，应填 23432（15）在已知函数 ，其中 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 有=)(xf0mbxbf=)(三个不同的根，则 的取值范围是 【解析】因为 的对称
6、轴为 ，g42)( x=所以 时 单调递增，只要 大于 的最mxxf+=bmxg42+=)(小值 时，关于 的方程 在 时有一根；24bf)(mx又 在 ， 时，存在实数 ，使方程 在 时有两个根，xh)(0xf)(只需 ；b3），（ +三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分（16） （本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知ABC,a,bccosAtanB+t=tan)+2(A()证明： ； cba2=+（） 求 的最小值cos【解析】()由 得cosAtanB+ttan)(A，icosicsBinC2所以 ，由正弦定理，得 ii cba2=+（） 由baba22)(s1
7、31322 )(cc所以 的最小值为 Ccos（17） （本小题满分 12 分）在如图所示的圆台中， 是下底面圆 的直径， 是上底面圆 的直径， 是圆台AOEFOFB的一条母线()已知 分别为 的中点，求证： 平面 ；HG,FBEC,GH/ABC()已知 ，求二面角 的余弦值=,321=-F【解析】()连结 ，取 的中点 ，连结 ， FM,因为 ， 在上底面内， 不在上底面内，GM/EG所以 上底面，所以 平面 ； /ABC又因为 ， 平面 ，H/BC平面 ，AE FBACG H所以 平面 ；MH/ABC所以平面 平面 ，G由 平面 ，所以 平面 H/ABC() 连结 ，OO以为 原点，分别以
8、 为 轴，,zy,x建立空间直角坐标系，BCA,321FBE，)(2OO于是有 ， ， ， ，0,3A0,3-)0,3(2)3,F(可得平面 中的向量 ， ,FBCCB于是得平面 的一个法向量为 ，)1,(1n又平面 的一个法向量为 ，A),02设二面角 为 ，-BCF则 71cos21n二面角 的余弦值为 A-F（18） （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和 ， 是等差数列，且 nanSn832b1nnba()求数列 的通项公式；b()令 求数列 的前 项和 nnc)2(1ncnT【解析】()因为数列 的前 项和 ，naSn832所以 ，当 时，1a，56)1()(3822SnnE
9、FBACO，Oxyz又 对 也成立，所以 56na156na又因为 是等差数列，设公差为 ，则 bddbn21当 时， ；当 时， ，1212b72解得 ，所以数列 的通项公式为 3dnb13nan()由 ，111 2)3()(6)2( nnnnac于是 ，143296nnT两边同乘以，得，2143 )3()(2 nnn两式相减，得 21432 )(236 nnnT2 )(1)( nn222 333nnnnT（19） （本小题满分 12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1
10、 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是43；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响假设“星队”参加两轮32活动，求：() “星队”至少猜对 3 个成语的概率；() “星队”两轮得分之和 的分布列和数学期望 XEX【解析】() “至少猜对 3 个成语”包括“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语” 设“至少猜对 3 个成语”为事件 ；A“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”分别为事件 ，CB,则 ；1253124)(212 CBP3)(C所以 32415)()( PBA() “星队”两轮得分之和 的所有可能取值为 0,1
11、,2,3,4,6X于是 ；134)0(X；7251403421)(2CP；34)( 2X；1432)3(1CP；2560)(4)(12X；4133)6( P的分布列为：X0 1 2 3 4 6P47541251的数学期望 X 6231432101 E（20） （本小题满分 13 分）已知 .,12)ln()Raxxaf () 讨论 的单调性；f() 当 时，证明 对于任意的 成立1a23)(xf 2,1x【解析】() 求导数 3)1(=)af321(x当 时， ， ， 单调递增，0a,)0(f)(xf， ， 单调递减；1 +xa 332 2+()(1=)(=( xaaxf )（1） 当 时，
12、，、a或 ， ， 单调递增，(0,)x), +2x0(xf)(f， ， 单调递减；1 a0a(xf)(f， ， 单调递减； a0xh时， ， 单调递减；0)()(又 ， ，所以 的最小值为 1=)(h2xh21=)(h所以 3+)(1g)(+g)(xf 、即 对于任意的 成立23)(f 2,x（21） （本小题满分 14 分）平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率是 ，抛物线xOy)0(1=+:2bayxC23的焦点 是 的一个顶点xE2=:F() 求椭圆 的方程；() 设 是 上的动点，且位于第一象限， 在点 处的切线 与 交于不同的两点PEEPlC，线段 的中点为 ，直线 与过 且垂直于 轴的
13、直线交于点 BA, DOxM（i）求证：点 在定直线上；M（ii）直线 与 轴交于点 ,记 的面积为 ， 的面积为 ，求lyGPF1SD2S的最大值及取得最大值时点 的坐标21S【解析】() 由离心率是 ，有 ，2324=ba又抛物线 的焦点坐标为 ，所以 ，于是 ，yx=2 )1,0(F1=a所以椭圆 的方程为 C=4+2() （i）设 点坐标为 ，P)0(,m、由 得 ，所以 在点 处的切线 的斜率为 ，yx2=xEPlm因此切线 的方程为 ，l2=设 ， ，),(),(21yxBA),(0yxD将 代入 ，得=my1=4+20)4+1232x、于是 ， ，221=mx 232104+=mx又 ，)4+(20y于是 直线 的方程为 ODxmy41=联立方程 与 ，得 的坐标为 xy41=M)41(,所以点 在定直线 上M（ii）在切线 的方程为 中，令 ，得 ，l2=mxy0=x2my即点 的坐标为 ，又 ， ，G)(0,2)P(,)1F(,所以 ；41+=21S2mF再由 ，得)(,4D(223 )1+4(8=1+1=S2232 mm于是有 221)(4令 ，得1+=2mt 222 1+=)(1=Stt当 时，即 时， 取得最大值 tt2149此时 ， ，所以 点的坐标为 21=mP)1,2(所以 的最大值为 ，取得最大值时点 的坐标为 21S49)4,P(
