1、布丰投针实验公元 1777 年的一天，法国科学家 D布丰(D.Buffon17071788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。 ”客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一
2、个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212 次，其中与平行线相交的704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。 ”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率 的近似值!”众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名期妙：“圆周率 ?这可是与圆半点也不沾边的呀!”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到 的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。 ”随着布丰先生扬
3、了扬自己手上的一本或然算术试验的书。 在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为 d，小针长为 l，投针的次数为 n，所以投的针当中与平行线相交的次数的 m，那么当n 相当大时有：(2ln)/(dm)在上面故事中，针长 l 恰等于平行线间距离 d 的一半，所以代入上面公式简化得：n/m值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算 值。其中最为神奇的要算意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在 1901 年宣称进行了多次的
4、投针试验，每次投针数为 3408 次，平均相交数为 2169 次，代入布丰公式求得3.1415929。这与 的精确值相比，一直到小数点后第七位才出现不同!用如此轻巧的办法，求得如此高精度的 值，这真是天工造物!倘若祖冲之再世，也会为之惊讶得瞠目结舌!不过，对于拉兹瑞尼的结果，人们一向非议甚多，究其原因，也不能说都没有道理，因为在数学中可以证明，最接近 真值的，分母较小的几个分数是：(1)(22)/73.14(疏率)(2)(333)/(106)3.1415(3)(355)/(113)3.1415929(密率)(4)(103993)/(33102)3.141592653而拉兹瑞尼居然投出了密率，对
5、于万次之内的投掷，不可能有更好的结果了。难怪有不少人提出怀疑：“有这么巧吗?”但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了好运气” 。事实究竟如何，现在也无从考查了!我想，喜欢思考的读者，一定还想知道布丰先生投针试验的原理，其实这也没什么神秘，下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离 d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为 n 次，那么相交的交点总数必为 2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为 d 的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有 4 个交
6、点，3 个交点，2 个交点，1 个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为 d，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说，当长为 d 的铁丝扔下 n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在转而讨论铁丝长为 l 的情形。当投掷次数 n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数 m应当与长度 l 成正比，因而有：m=kl，式中 k 是比例系数。为了求出 k 来，只需注意到，对于 l=k 的特殊情形，有 m=2n。于是求得 k=(2n)/(d)。代入前式就有：m (2ln)/(d)从而 (2ln)/(dm)这，就是著名的布丰公式!利用布丰公式，我们还可设计出求：根 2，根3，根 5 等数的近似值的投针试验呢!亲爱的读者，难道你不想试一试吗?这只需把 l/d 选得等于你那个数就行，不过这时的 要当成知道的。看!多么奇妙的概率!
