1、悖论及其意义 摘要 悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题。文章将数学悖论作为考察的重点，通过对数学悖论在历史发展中的作用的论述，认为悖论反映了人类认识过程中的形而上学、绝对化观点的受挫，使人们更加冷静地认识理论，悖论给科学带来和将带来丰富的创造与巨大的进步。 关键词 悖论；数学悖论；认识论悖论，早在古代哲学史中就作为一个引人瞩目的语言现象和逻辑现象而存在。但在相当长的一段时间内，未能引起哲学家和数学家们的足够重视，因为人们通常认为悖论不过是巧妙编制的谬论，直到 1901 年，著名的哲学家、数学家罗素在集合论中发现震动性的罗素悖论，才使大家转变了对悖论的认识。回顾自然科学的
2、发展史，曾出现过大量的悖论，引起了一次又一次科学理论的危机，给一些人带来了烦恼和失望。然而正是这些悖论的出现和消除，极大地促进了自然科学的发展，标志着科学的真正进步。本文以数学悖论为研究重点，对悖论的发展及其意义提出自己粗浅的看法。一、悖论的概念“悖论”一词来自希腊文，是超出、违反、对抗之意和料想之意的合称。笼统地讲，悖论是逻辑学的名词，是指一种导致矛盾的推理过程。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论：指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题 A，若肯定 A，就推出非 A；反之，若肯定非 A，又可以推出 A。科学中的悖论的原意是“悖理” ，是“悖
3、于情理”的简称。在科学发展中，如果新思想同公认的传统思想相矛盾，最初常常被视为悖论。哥白尼的日心说、达尔文的进化论在提出之时在神学家与多数人看来就是悖论，即新理论和旧理论的矛盾，正因为如此，科学中悖论的产生常常预示着认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展的动因，是一个历史范畴，必须在一定的理论体系与人类认识水平上予以理解。悖论与通常的诡辩或谬论的含意是不同的，诡辩、谬论不仅从公认的理论上看是错误的，而且通过已有的理论、逻辑可以论证其错误的原因，而对于悖论虽然感到不妥当，但从它所在的理论体系内，却不能阐明其错误的原因，可见悖论对于它所在的历史阶段与科学理论体系而言是解释不了
4、的矛盾，正如 Y.HILLEL 所说：如果某理论和推理原则上看是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。其中所谓的互相矛盾的命题是指推出了一个命题和它的否定，所谓互相矛盾的等价式指的是如果肯定一个命题，可以推出它的否定；反之，如果肯定这个命题的否定，可以推出这个命题。数学中的悖论也如在科学与通常上对悖论的理解，尽管在科学领域中，数学历来被视为严格、和谐、精确的典型学科，正如大数学家希尔伯特曾问到“如果连数学思考都失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”事实上，数学发展从来
5、不是直线式的，也并不总是和谐的，而是常常出现悖论，但正是这些重要悖论的产生，为未来的发展提供了契机，进而艰难的悖论总是以熠熠生辉的方式使之得到美妙的结论。但悖论在数学中也出现了一种严重的问题，所造成的事实是对数学基础的怀疑及对数学可靠性的动摇，甚至导致“数学危机” ，正如著名逻辑学家 A. 塔斯基指出的 “我们知道，一个有矛盾的理论一定包含假命题，而我们是不愿意把一个已被证明包含这种假命题的理论看成是可以接受的。我相信，每个人都同意这一点：一旦我们在一个理论中推出两个互相矛盾的命题，这一理论就变得不可接受了。 ”因此，数学悖论的产生使人们更加自觉地认识到其在数学发展中的重要性。二、悖论的历史与
6、现状悖论的历史起源几乎可以说与科学史同行，自古希腊和我国先秦以来，悖论曾被历代哲学家和数学家不同程度地思考过，一个有名的悖论传说出自公元前 6 世纪古希腊的克里特人，说有一个克里特人说：“所有的克里特人都是说谎者” ，从这句话判断若此话为真，则它是谎话，即说明这句话的假；若此话为假，而本来这人说的是谎话，所以成了真话，即这句话是真话，简单推理即：若 A 为真推出 A 假；若 A 不真即假，推出 A 真，是一个典型的悖论，曾使希腊人大伤脑筋而无法解释清楚。在西方圣经新约中也用过这样的说谎者悖论，还有类似传说出自古希腊的哲学家的悖论，即柏拉图说：下面苏格拉底说的话是假的，而苏格拉底说柏拉图（前面）
7、说了真话。还有一位美国数理学家写了一本书，其书名就叫“这本书的书名是什么” ，这句话的答与问是难以区别的。类似的像先有鸡、先有蛋的无穷反复、无穷倒退的循环推理，到 1947 年第一台用于解决逻辑问题的计算机研制成功后，当把“说谎者悖论”输入，即判断语句“这句话是错的”是真是假时，计算机发狂地反复不断地打出“对、错、对、错” 。关于悖论长期以来特别是近代被广泛地深入研究，一直推动着数学哲学界的人们的认识。在数学发展史上， “毕达哥拉斯悖论” ，即古希腊“不可公度线段”的发现，曾引起了第一次数学危机，更重要的是给人们的认识带来了显著的变化。在古希腊人们对有理数无限信仰的年代里，毕达哥拉斯的学生通过
8、不可通约线段发现了无理数，即由毕达哥拉斯定理出发，发现了等腰直角的三边之比不能用整数来表示，产生了“ ”这个数，这无疑与毕达哥拉斯学派所谓的“实在是数的摹仿” 、 “宇宙间一切现象都能归结为整数之比”的哲学信仰相矛盾，因而被视为悖论，这一悖论使毕达哥拉斯学派与哲学陷入严重的危机，也使数学史上出现了第一次数学危机，正如一位数学家所讲“这是第一次数学危机，绝不言过其词，而是非常恰当的” 。 “芝诺悖论”又一次把数学中的重大矛盾以悖论的形式揭露出来，对数学发展的促进作用是不言而喻的。古希腊埃利亚学派的芝诺大约创设了 40 个悖论，其中最有名的是“二分法” 、 “阿基里和乌龟赛跑” 、 “飞矢不动”
9、、 “一倍的时间等于一半的时间” （运动场）的悖论， “二分法”和“飞矢不动”的论证与中国古代哲学家庄子在天下篇中所说的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”和“飞鸟之景，未尝动也”的命题是一样的，这些都包含着深刻的数学及哲学意义，含着连续与间断、无限与有限、整体与部分的深刻矛盾，深化了数学及哲学家关于一和多、不变与变之间的讨论。正是由于“芝诺悖论”涉及运动学、认识论、数学及逻辑学的问题，使它在历史上引起了长久的思索，至今仍有理论上的无穷魅力，因此芝诺被推崇为辩证法的创始者。由于人们认识的局限性，产生了很多著名的悖论，如古典数学名著欧几里得的几何原本的第一个注释者普罗克洛斯产生的“一个无穷大等于两个
10、无穷大”的悖论，亚里士多德的“大小不同的两个圆之周长相等”的悖论，还有伽利略的“部分等于主体”的悖论。当然随着科学的发展，特别是数学数域的扩大，这些悖论被自然地解决了，这也正好印证了前面提到的“悖论是一个历史范畴” 。在 17 世纪末 18 世纪初，贝克莱悖论（无穷小悖论）随着牛顿莱布尼茨微积分的诞生而产生，微积分的发明一方面给传统数学方法带来巨大的变革，另一方面也给传统数学带来无法理解的概念与方法，突出表现在对“无穷小”概念的理解，作为微积分中心概念的“导数”是两个无穷小之商 dy / dx，那么这个无穷小“既有零的特征，但又不等于零” ，即如果 dx =0，就得出 dy / dx = 0
11、/ 0 这一毫无意义的结果；如果 dx0，无论 dx 如何小，则 dy / dx 只能是“预备导数” ，而不是真正的导数，这就是贝克莱悖论，微积分由此而变得“神秘” ，对这个悖论的解释引发了数学的第二次危机，归根结底是人们对变量及“有限” 、 “无限”的认识缺陷，到柯西那里把无穷小定义为一个以零为极限的变量才使无穷小悖论得到满意的克服，使辩证的思想深入数学之中。大家都知道，现代数学的逻辑层次就是集合，自康托尔从简单的自然数开始，成功创造了集合论的体系，开辟了实数基础的新天地，再加上微积分的基础极限论是建立在实数论上，这就使几乎数学的全部都可以在集合论的基础上成为整体，而 1902 年英国数学家
12、罗素的集合论悖论触及整个集合论的本，也使逻辑推理成为矛盾。罗素悖论简单地讲就是：所有不以自己为元素的集合组成一集合，记为 A；则集合 A 包含 A 等价于集合 A 不包含 A 这样的悖论。罗素仅从几个最基本的集合论概念出发，使以集合论为基础的整个数学体系为之动摇，正如数学史家 M. 克莱因所说，正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾却动摇了他们，作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地。著名数学家弗雷格正要出版“算法基础”第三卷时称“一个科学家遇到的最不合心意的事，莫过于是他的工作即将结束时，使其基础崩溃了，罗素先生的一封信正把我处于这个境地” 。希尔伯特在 192
13、5 年“论极限”一文中也指出“在数学中产生灾难性的作用” “使数学界中最一般最有成效的概念和最简单最重要的推理方法受到威胁，甚至要禁止它们的应用。 ”这样，以罗素悖论为起点出现的一系列悖论使人们开始了排除悖论的努力，提出了若干解决悖论的方案，如罗素的分支类型论、塔尔斯基的语言层次论、公理集合论、ZFC 系统论等等。虽然解决悖论引发的逻辑及数学基础问题的目标至今没有达到，但却吸引了日益增多的研究者的注意，对悖论的更深入的探讨与研究必将带来新的更重要的发展。三、悖论的哲学意义在西方，对悖论的实质认识有两种完全对立的观点，一种是“主观错误论” ，这种观点认为客观世界本来是和谐的、是不矛盾的，科学的悖
14、论本来是可以排除的，出现悖论完全是由主观错误造成的，是发生了不应该发生的错误，如果已经出现了，经过对主观认识的修正是可以排除的，这种悖论的矛盾根源是“主观错误”的观点使人们认为是在什么地方出现了错误，力图通过努力来纠正主观错误，试图由此一劳永逸地消除悖论。这种观点虽然在人类认识的局限性上有合理的成分，但没有从根本上揭示悖论的认识根源，把悖论认为是一时的主观错误与疏忽显然是肤浅的。再一种观点是“特殊真理论” ，认为悖论不是主观错误，而是一种正常现象，认为从本体论上讲，世界非常可能是自身不协调的，因此悖论不是错误，而是特殊的客观真理，这种理论显然不能成立。从数学悖论产生到其随着认识论的发展而得以解
15、决来讲，这种悖论就不是“特殊真理”，所以这种观点显然是站不住脚的。人类思维在认识客观事物及其规律时，总是要通过“僵化” “割裂” ，因而思维中的不可避免的部分形而上学的因素必然存在与客观辩证法的矛盾，这种主观、客观的必然矛盾，在某种“极限的”条件下会突出地表现为不可理解的“没有出路”的尖锐的程度，就表现为悖论，所以悖论实质上是客观实在的辩证法与主观思维的形而上学及形式逻辑方法的矛盾的集中表现。之前我们提到的毕达哥拉斯悖论及芝诺悖论、贝克莱悖论、罗素悖论均是人们对客观事物的不同认识阶段中不可避免地包含对客观辩证法某种歪曲的反映而产生的，对于具体的悖论，由于科学的发展及人类认识水平的提高，在新的理
16、论认识体系中必然会得到解决，当然就会出现新的悖论，这种过程可能就是形式逻辑与辩证法不断统一的过程。又因为悖论是主、客观矛盾的表现形式，因此消除悖论就必须提高主观认识，去克服认识过程中的局限性，毕达哥拉斯悖论的产生就是由于当时人们仅限于直观认识，当人们的认识从直观认识阶段脱胎出来，对直觉、经验在认识中的可靠性产生了怀疑时，此悖论才得以解决；当认识随着科学的进步而得以解放，无穷小悖论的危机使人们再一次对知识的可靠性、确定性、真理性的可判依据产生了怀疑，并在此基础上找到了“无穷小量”的严格的科学定义，才消除了这一悖论；对罗素悖论的解决导致了对数学基础研究的重大发展。所有这些均是数学思维与认识水平的重大变革。可以说，只有发展人们的认识才能克服历史的局限性从而去消除悖论。悖论反映了人类认识过程中的形而上学、绝对化观点的受挫，使人们更加冷静地认识理论，经过无数次哲学思想上的重大突破、人类认识上的重大发展，人们才能在认识自然及规律上得到深刻的启发，悖论给科学带来的将是丰富的创造与巨大的进步。
