1、第 1 页（共 12 页）等差数列的概念及性质一选择题（共 12 小题）1等差数列a n中，a 27，a 623，则 a4（ ）A11 B13 C15 D172在等差数列a n中，a 46，a 3+a5a 10，则公差 d（ ）A1 B0 C1 D23等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a8a 59，S 8S 566，则 a33（ ）A82 B97 C100 D1154在等差数列a n中，已知 a2+a5+a12+a1536，则 S16（ ）A288 B144 C572 D725已知a n为递增的等差数列，a 4+a72，a 5a68，则公差 d（ ）A6 B6 C2 D46在等差数列a
2、 n中，已知 a1 与 a11 的等差中项是 15， a1+a2+a39，则 a9（ ）A24 B18 C12 D67已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+a8+a1212，则 S13（ ）A104 B78 C52 D398等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a13，S 535，则数列 an的公差为（ ）A2 B2 C4 D79在等差数列a n中，若 a3+a5+2a104，则 S13（ ）A13 B14 C15 D1610在等差数列a n中，若 2a86+a 11，则 a4+a6（ ）A6 B9 C12 D1811等差数列a n中，a 2 与 a4 是方程 x24x +3
3、0 的两根，则 a1+a2+a3+a4+a5（ ）A6 B8 C10 D1212等差数列a n满足 4a3+a113a 510，则 a4（ ）A5 B0 C5 D10二填空题（共 5 小题）13数列a n中，若 an+1a n+3，a 2+a826，则 a12 14在等差数列a n中，a 1+3a8+a15120，则 3a9a 11 的值为 第 2 页（共 12 页）15已知等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，若 ，则 16等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10，S 170，S 180，则当 n 时，S n 取得最小值17等差数列a n、b n的前 n 项和分别
4、为 Sn、T n，若 ，则 三解答题（共 5 小题）18已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a37，a 5+a726（）求 an 及 Sn；（）令 bn （nN +） ，求证：数列 bn为等差数列19已知等差数列a n满足 a1+a210，a 5a 34（）求a n的通项公式；（）设等比数列b n满足 b2a 3，b 3a 7，问：b 6 是数列 an中的第几项？20在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，已知 a1+a322，S 545（1）求 an，S n；（2）设数列S n中最大项为 Sk，求 k 及 Sk21观察如图数表，问：（1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数
5、分别是多少？（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（3）2012 是第几行的第几个数？22 （理）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且角 B，A，C 成等差数列（1）若 a2c 2b 2mbc，求实数 m 的值；（2）若 a ，求ABC 面积的最大值第 3 页（共 12 页）等差数列的概念及性质参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1等差数列a n中，a 27，a 623，则 a4（ ）A11 B13 C15 D17【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：等差数列a n中，a 27，a 623， ，解得 a13，d4a
6、4a 1+3d3+12 15故选：C【点评】本题考查等差数列的第 4 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2在等差数列a n中，a 46，a 3+a5a 10，则公差 d（ ）A1 B0 C1 D2【分析】根据等差数列的性质和通项公式即可求出【解答】解：a 46，a 3+a5a 10，2a 4a 4+6d，d a41，故选：C【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题3等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a8a 59，S 8S 566，则 a33（ ）A82 B97 C100 D115【分析】先求出公差 d，再根据求和公式求出 a14，即可求出
7、a33【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a8a 59，3d9，d3，S 8S 566，第 4 页（共 12 页）8a 1+ 35a 1 366，a 14，a 33a 1+32d4+32 3100，故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题4在等差数列a n中，已知 a2+a5+a12+a1536，则 S16（ ）A288 B144 C572 D72【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可【解答】解：a 2+a5+a12+a15 2（a 2+a15）36，a 1+a16a 2+a1518，S 16 818144，故选：B【点评】本题考查了等
8、差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题5已知a n为递增的等差数列，a 4+a72，a 5a68，则公差 d（ ）A6 B6 C2 D4【分析】a 5，a 6 是方程 x22x80 的两个根，且 a5a 6，求解方程得答案【解答】解：a n为递增的等差数列，且 a4+a72，a 5a68，a 5+a62，a 5，a 6 是方程 x22x 80 的两个根，且 a5a 6，a 52，a 64，da 6a 56，故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题6在等差数列a n中，已知 a1 与 a11 的等差中项是 15， a1+a2+a39，则 a9（ ）A24
9、B18 C12 D6【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出 a9 的值【解答】解：在等差数列a n中，a 1 与 a11 的等差中项是 15， a 1+5d15，第 5 页（共 12 页）a 1+a2+a39，a 1+d3，联立，得 a10，d3，a 9a 1+8d0+24 24故选：A【点评】本题考查等差数列的第 9 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1+a8+a1212，则 S13（ ）A104 B78 C52 D39【分析】数列a n为等差数列，故 a1+a8+a12 可以用首项和
10、公差表示，进而得到 a7，求出 S13【解答】解：因为已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且a1+a8+a123a 1+18d3a 712 ，故 a74，所以S13 13a 713452故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差中项，前 n 项和公式，属于基础题8等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a13，S 535，则数列 an的公差为（ ）A2 B2 C4 D7【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：a 13，S 535，53+ 35，解得 d2故选：B【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9在等差数列a n中，若 a3+a
11、5+2a104，则 S13（ ）A13 B14 C15 D16【分析】由 a3+a5+2a104，可得 4a74，解得 a7，利用 S1313a 7 即可得出【解答】解：a 3+a5+2a104，4a 74，解得 a71，则 S1313a 713故选：A第 6 页（共 12 页）【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10在等差数列a n中，若 2a86+a 11，则 a4+a6（ ）A6 B9 C12 D18【分析】由等差数列a n中，2a 86+a 11，可得 a52a 8a 11，利用 a4+a62a 5，即可得出【解答】解：由等差数列a
12、 n中，2a 86+a 11，a 52a 8a 116，则 a4+a62a 512故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11等差数列a n中，a 2 与 a4 是方程 x24x +30 的两根，则 a1+a2+a3+a4+a5（ ）A6 B8 C10 D12【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出【解答】解：a 2 与 a4 是方程 x24x+30 的两根，a 2+a442a 3，解得 a32，则 a1+a2+a3+a4+a55a 310故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理
13、能力与计算能力，属于中档题12等差数列a n满足 4a3+a113a 510，则 a4（ ）A5 B0 C5 D10【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，4a 3+a113a 510，4（a 1+2d）+（a 1+10d） 3（a 1+4d）10，化为：a 1+3d5则 a45故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题（共 5 小题）第 7 页（共 12 页）13数列a n中，若 an+1a n+3，a 2+a826，则 a12 34 【分析】先判断数列的等差数列，再求出首项，即可求出答案【解答】解：a n+1a
14、n+3，数列a n为等差数列，其公差 d3，a 2+a826，2a 1+8d26，a 11，a 121+11334，故答案为：34【点评】本题考查饿了等差数列的定义和通项公式，属于基础题14在等差数列a n中，a 1+3a8+a15120，则 3a9a 11 的值为 48 【分析】a n为等差数列，所以 a1+3a8+a151205a 1+35d120 a824，然后将3a9a 11 也表示为用 a8 表示即可【解答】解：因为数列a n为等差数列，所以 a1+3a8+a15120 可化为 5a1+35d120 可化为 a824，又因为 3a9a 112a 1+14d2a 848，故填：48【点
15、评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题15已知等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，若 ，则 【分析】由等差数列的性质得 ，由此能求出结果【解答】解：等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n， ， 故答案为： 第 8 页（共 12 页）【点评】本题考查等差数列的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10，S 170，S 180，则当 n 9 时，S n 取得最小值【分析】推导出 a8+a90，a 90，a 80，由此能求出当 n8 时，S n 取得最小值【
16、解答】解：等差数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 10， S170，S 180，a 90，a 9+a100，a 90，a 100，a 10，当 n9 时，S n 取得最小值故答案为：9【点评】本题考查等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn、T n，若 ，则 【分析】由题意可设 Snkn（n+1） ，T nkn（2n1） ， （k0） 由此求得 a8，b 9，则答案可求【解答】解，依题意，设 Snkn（n+1） ，T nkn（2n1） ， （k0） 则 a8S 8S 772k56k
17、16k ，b 9T 9T 833k，所以 ，故填： 【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前 n 项和的应用，是中档题三解答题（共 5 小题）18已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a37，a 5+a726（）求 an 及 Sn；（）令 bn （nN +） ，求证：数列 bn为等差数列【分析】 （）设等差数列的首项为 a1，公差为 d，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a13，d2，由此能求出 an，S n第 9 页（共 12 页）（）由 ，能证明数列b n为等差数列【解答】解：（）设等差数列的首项为 a1，公差为 d，a 37，a 3+a226由题意得 ，解得 a13，d
18、2，a na 1+（n1）d3+2 （n1）2n+1 n（n+2） 证明：（） ，bn+1b nn+3（n+2 ）1，数列b n为等差数列【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，考查等差数列的证明，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19已知等差数列a n满足 a1+a210，a 5a 34（）求a n的通项公式；（）设等比数列b n满足 b2a 3，b 3a 7，问：b 6 是数列 an中的第几项？【分析】 （）设a n公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则 an 可求；（）由 b2a 38，b 3a 716，得公比 q2，进一步
19、求得 b6，代入等差数列的通项公式求得 n 值得答案【解答】解：（）设a n公差为 d，由 a5a 342dd2，由 a1+a2102a 1+da14 ，a n2n+2；（）由 b2a 38，b 3a 716，得公比 q2， 令 an2n+2128，得 n63即 b6 为a n中的第 63 项【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础的计算题第 10 页（共 12 页）20在等差数列a n中，S n 为其前 n 项的和，已知 a1+a322，S 545（1）求 an，S n；（2）设数列S n中最大项为 Sk，求 k 及 Sk【分析】 （1）利用已知条件列出方程组，求出数列的首项与公
20、差，然后求解 an，S n；（2）利用变号的项，求解最值即可【解答】 （10 分）解：（1）由已知得 ，所以 ，所以 ana 1+（n1）d2n+15；（2）由 an0，即2n+150，可得 n7，所以 S7 最大，k7，S 749【点评】本题考查等差数列的性质，数列求和以及通项公式的应用，考查计算能力21观察如图数表，问：（1）此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（3）2012 是第几行的第几个数？【分析】 （1）写出此表 n 行的第 1 个数，且第 n 行共有 2n1 个数，且成等差数列，由此求出第 n 行的最后一个数；（2）由等差数列的
21、求和公式求出第 n 行的各个数之和；（3）设 2012 在第 n 行，列不等式求出 n 的值，再计算 2012 在第该行的第几个数【解答】解：（1）此表 n 行的第 1 个数为 2n1 ，第 n 行共有 2n1 个数，依次构成公差为 1 的等差数列；（4 分）由等差数列的通项公式，此表第 n 行的最后一个数是 2n1 +（2 n1 1）12 n1；（8 分）第 11 页（共 12 页）（2）由等差数列的求和公式，此表第 n 行的各个数之和为2 2n2 +22n3 2 n2 ，或 2n1 2n1 + 12 2n2 +22n3 2 n2 ；（8 分）（3）设 2012 在此数表的第 n 行则 2n
22、1 20122 n1，可得 n11，故 2012 在此数表的第 11 行；（10 分）设 2012 是此数表的第 11 行的第 m 个数，而第 11 行的第 1 个数为 210，因此，2012 是第 11 行的第 989 个数（12 分）【点评】本题考查了等差数列的应用问题，是中档题22 （理）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且角 B，A，C 成等差数列（1）若 a2c 2b 2mbc，求实数 m 的值；（2）若 a ，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）由角 B，A，C 成等差数列以及三角形内角和公式知 A60，再由余弦定理和条件可得 cos A ，由此求得 m 的
23、值（2）由 cos A 可得 bca 2，故 SABC sin A ，由此求得结果【解答】解：（1）由角 B，A，C 成等差数列以及三角形内角和公式知 A60又由 a2c 2b 2mbc 可以变形得 再由余弦定理可得 cos A ，m1 （4 分）（2）cos A ，bcb 2+c2 a22bc a 2，即 bca 2，故 SABC sin A ，ABC 面积的最大值为 （8 分）【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形的内角和公式，等差数列的性质，以及第 12 页（共 12 页）解三角形的方法，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/13 11:17:23；用户：王卓；邮箱：；学号： 26386583
