1、1,在经典控制理论中，系统的数学模型是建立在传递函数基础上的，而传递函数的概念是建立在拉氏变换基础上的，所以拉氏变换是经典控制理论的数学基础。,复习拉普拉斯变换(附录C),2,1、 拉普拉斯变换定义,设 f(t) 是时间t 的函数，当t0时，f(t)=0； 则 f(t)的拉普拉斯变换定义为：,是 的象函数，或称 的拉普拉斯变换。是 的原函数或拉普拉斯反变换。,式中 是复变量,sjw,变换对： f( t ) F( s )电压： u( t ) U( s )电流： i( t ) I( s ),3,常采用的典型信号的函数图像,4,例1 阶跃函数的拉氏变换,单位阶跃函数,已知单位阶跃函数为：,则有：,可
2、得反变换:,5,例2 求指数函数的拉氏变换,于是可得反变换,已知指数函数为：,则有:,6,例3 求斜坡函数的拉氏变换,已知单位斜坡函数为：,单位斜坡函数,则有：,于是可得反变换：,推广,7,例4 时间迟延函数的拉氏变换,延迟a个时间单位,可表示成,则可完成以下变换,即,图 延迟函数,于是,如令,8,例5 单位脉冲函数的拉斯变换,单位脉冲函数为：,单位脉冲函数的拉普拉斯变换为,9,1(t),常用函数拉氏变换对照表,详见P275 附录B,10, 线性性质 线性系统的主要特征是具有齐次性和叠加性。,2、拉氏变换的性质,例,解：,例：已知 ，求 的拉氏变换。,解：,11,如,2、微分性质,表明：函数f
3、( t )求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以复量s，再减去原函数f( t )在0时的值。,推广：,12,13,14,解 对方程取拉氏变换，得,即,例：设有方程,15,3、积分性质,表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函数除以复量s。,如,则,16,4、位移性质,若 ，则,解： 因为,故 ：,17,5、延时性质,如图所示，原函数沿时间轴 平移，平移后的函数为f (t-),18,拉氏变换基本定理,相似定理,终值定理,初值定理,积分定理,微分定理,位移定理,线性定理,延时定理,指数函数的拉氏变换,19,课堂练习,1、求拉氏变换,解：,2、,3、,20,3、拉普拉斯反变换,如果 能分解成
4、 为如下形式,并假定各分项的拉氏反变换可以容易地求出，那么,对于一般形式的拉普拉斯变换如何求其反变换？,由象函数 F(s) 求原函数 f(t) 的运算叫拉普拉斯反变换。,21,解.,解得：,留数法 系数比较法（解系数方程）,22,拉普拉斯反变换 留数法,一般有,设,其中：,-Pi 是 A(s)=0的根,1. 当 的所有根均为不同实根时,等式两边分别乘以（s+pi),23,拉普拉斯反变换练习1,像函数,部分分式展开为,因此,24,解 对方程取拉氏变换，得,即,例：设有方程,求上述微分方程的解 y(t),课堂练习,25,所以 y(t) = L1Y(s)=4.5et 4e2t + 0.5e3t,解：,26,解 .,可用配方（比较系数）的方法解,2. 当 有共轭复根时,27,拉普拉斯反变换练习2,像函数,因此,由于,像函数展成,28,3. 当 有重根时(以二重根为例),29,例 设 ，求f ( t )。,解,其中,则,30,解.,31,，求,解.,课堂练习,32,习题,1、求拉氏变换,2、求拉氏反变换,
