1、 高考研究中的高考数学的 54 个失分点续【易错点 55】向量与三角函数求值、运算的交汇例 39、 ， 与)2,(),0(),1(),sin,co1(),sinco1( cba a的夹角为 1， 与 的夹角为 2，且 的值.c 2i32求【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。解析： ),sin,(cos)cosin,2cos(aib2i2(0),(,2)故有(0,)(,)22|cosa|sinb1coscos|2a1cos, 22icossi,|nbc0,2因 ，从而262,21 .21
2、6sini【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。【练 39】 （1） （2005 高考江西）已知向量,令 是否存在实数(2cos,tan(),(2sin),ta()442xxb()fxab,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求出 的值；若不存00fx(ff在,则证明之 答
3、案：存在实数 使等式成立。2（2） （2005 山东卷）已知向量 和 ，且(cos,in)m2sin,co,2求 的值.答案： 。8,5mncos2845【易错点 56】向量与解三角形的交汇。例 40、ABC 内接于以 O 为圆心， 1 为半径的圆，且 3 4 5 = 。求数量积， OA OB OC 0 ， ， ；求 ABC 的面积。 OA OB OB OC OC OA【思维分析】第 1 由题意可知 3 、4 、5 三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平 OA OB OC方即可。第 2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。解析：| |=| |=| |=1 由
4、3 4 5 = 得：3 4 =5 两边平方得：9 224 OA OB OC OA OB OC 0 OA OB OC OA 16 2=25 2 =0 同理：由 4 5 =3 求得 = 由 3 5 =4 OA OB OB OC OA OB OB OC OA OB OC 45 OA OC求得 = OB OA OC 35由 =0,故 = | | |= 由 = 得 cosBOC= sinBOC= OA OB 0ABs12 OA OB 12 OB OC 45 45 35= | | |sinBOC= ，由 = 得0Cs12 OB OC 310 OC OA 35cosCOA= sinCOA= = | | |s
5、inCOA= 即35 45 s12 OC OA 25= = =ABCs0ACs0B12 310 2565【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。【练 40】 （1） （2005 全国卷）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c，已知 a,b,c 成等比数列，且 cosB 。 （1）求 cotA+cotC 的值；（2）设 ，求 的值。34 32c答案：（1） （3） 。7ac（2）已知向量 =（2，2） ，向量 与向量 的夹角为 ，且 =2，求向量 ；ba4abb若 ，其中 A、C 是ABC 的内角，若三角形的三内角)2cos,(,)0
6、,(Atbt且A、B、C 依次成等差数列，试求 | + |的取值范围.答案： 或 (1,0)(,1)25|.c【易错点 57】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。例 41、已知二次函数 f(x)对任意 xR，都有 f(1x)=f(1x)成立，设向量 =(sinx,2)， a=(2sin, x)， =(cos2x,1)， =(1,2)，当 x0,时，求不等式 f( )f( )的 b 12 c d a b c d解集.【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。解析：设 f(x)的二次项系数为 m，其图象上的两点为 A(1x,y 1
7、)、B(1x,y 2)，因为=1，f(1x)=f(1x)，所以 y1=y2由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对(1 x) (1 x)2称，若 m0，则 x1 时，f(x)是增函数；若 m0，则 x1 时，f(x)是减函数。 =（sinx，2）（2sinx, ）=2sin 2x11， =（cos2x，1）(1,2) a b 12 c d=cos2x21当 m0 时，f( )f( ) f(2sin2x1)f(cos2x2) a b c d 2sin2x1cos2x2 1cos2x1cos2x2 cos2x0 2k 2x2k2 ,kz k xk ,kz0x x 当 m0 时，同理2
8、344343可得 0x 或 x 综上所述，不等式 f( )f( )的解集是：当 m0 时，3 a b c d为x| x ；当 m0 时，为x|0x 或 x。443【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制） ，通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。【练 41】若 在定义域（1，1）内可导,且 ，点 A(1, ( );B( ( ),1)，对任意()fx()0fxfaf(1，1) 恒有 成立，试在 内求满足不等式 (sin cos )+ (cos2 )0 的 的aOAB,xx
9、取值范围.答案： ，( )4,2()3,(kZ【易错点 58】向量与解析几何的交汇例 42、 （03 年新课程高考）已知常数 a0，向量 c=（0，a） ，i=（1，0） ，经过原点 O 以 c+i 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i2c 为方向向量的直线相交于点 P，其中 R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点 P
10、坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 .消去参数 ，得点 的坐标满足xyx2),(yx方程 .整理得 因为 所以得：（i）当 时，2)(xay.1)2(8a,02a方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当 时，方程表示椭圆，焦点2a和 为合乎题意的两个定点；（iii）当 时，方程也表示椭)2,1(aE)2,1(aF圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.0)1(02【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算
11、,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练 42】 （1） （2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点xF 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 共线。 （）求椭圆的离心率；（）设 M 为BO)1,3(a椭圆上任意一点，且
12、，证明 为定值。 RM2答案：（1） （2） =163e2（2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点 M（-1 ，0） ，N（1，0） ，且点 P 使 ， MN, 成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若点 P 坐标为（ ） ，PNM ,oxy记 为 与 的夹角，求 ；答案：点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆tan3tan =|y | 0（3） （2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：BOBA43【易错点 59】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模
13、、夹角等的结合。例 43、已知椭圆 C： 上动点 到定点 ,其中 的距离 的最小值214xyP0Mm2PM为 1.（1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足l条件 （O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。ABl【思维分析】此题解题关键是由条件 知 从而将条件转化点的坐标运AB0OAB算再结合韦达定理解答。解析：设 ，由 得 故,pxy214y224x22214xPMxm由于 且 故当 时，2221m0m0的最小值为 此时 ，当 时， 取得最小值为2PM2142x解得 不合题意舍去。综上所知当 是满足题意此时 M
14、的坐标为41,31（1，0） 。（2）由题意知条件 等价于 ，当 的斜率不存在时， 与 C 的交点为OAB0OABll，此时 ，设 的方程为 ，代入椭圆方程整理得6,0l1ykx，由于点 M 在椭圆内部故 恒成立，由 知22144kxk00OAB即 ，据韦达定理得 ，120xy22210kxxk2124kx代入上式得 得 不合1224k 222240k2题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练 43】已知椭圆的焦点在
15、 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点 为圆心，过另一焦点 的圆被右准2F1F线截的两段弧长之比 2:1, 为此平面上一定点，且 .（1）求椭圆的方程（2）若2,1P1P直线 与椭圆交于如图两点 A、B，令 。求函数10ykx0fkABk的值域答案：（1） （2）f 214xy0,8易错点 44牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例 44、函数 的导数为 。1cosxye易错点分析复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 。xux解析： 1cos1cos1cos1cos1cosxxxxyeee 1cosinxi【知识点归类点拨】掌握
16、复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。练习 44（2003 年江苏，21）已知 ，n 为正整数。设 ，证明 ；0anyxa1nyxa（1） 设 ，对任意 ，证明nnfx11nnff解析：证明：（1） 0,nnkkaCax11111nnnk nknk kyCxa（2）对函数 求导数： ，nnnfa11nnfx当 时， 11.nnnfa0x0nfx是关于 x 的增函数因此，当 时，ax当 时 ， a。1nnn11111n n nn nnf a a即对任意 ， .nnnff【易错点 60】求曲线
17、的切线方程。例 45、 （2005 高考福建卷）已知函数 的图象过点 P（0，2） ，且在点daxbxf23)(M（ 1， f（1 ） ）处的切线方程为 . （）求函数 的解析式；076y)(xfy【思维分析】利用导数的几何意义解答。解析：（）由 的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以)(xf ,2)(23cbxf由在 处的切线方程是 ，知.23)(cbxf )1(,fM076y.)(,716f即故所求的解析式是.3,03.2cbcbcb解 得即 .23)(23xxf【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 处的导数，就是曲线 y=(x)在点0x处的切线的斜率由此，可以利
18、用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)求出函)(,0xfP数 y=f(x)在点 处的导数，即曲线 y=f(x)在点 处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和)(,0xfP切线斜率的条件下，求得切线方程为 特别地，如果曲线 y=f(x)在点)0y处的切线平行于 y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 。 利用导)(,0xfP 0x数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.【练 45】 （1） （2005 福建卷）已知函数 的图象在点 M（1，f(x)）处的切线方程为bxaf26)(x+2y+5=0.（）求函数 y=f(x)的解析式；答案：
19、3)(2f（2） （2005 高考湖南卷）设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象tt cbxgaxf 23)()(与的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c；答案：t故 ， ，.3tabc2ttb.3tc【易错点 61】利用导数求解函数的单调区间及值域。例 46、( 2005 全国卷 III)已知函数 ， （）求 的单调区间和值域；247xf01， fx（）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在1a23gxax， ， 10，使得 成立，求 的取值范围。0x， 01f【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等式的
20、运算能力第（）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数 在区间 上的ygx01，值域是函数 的值域的子集，从而转化为求解函数 在区间 上的值域。fx yx，解析() ，令 解得 或 ,在2 24167(1)7()xf()0f2x7， 所以 为单调递减函数；在 ， 所以 为单调10,2x0,fx()f ,1,f()f递增函数；又 ，即 的值域为-4，-3 ，所以 的单调递71()3,422()fxx减区间为 ， 的单调递增区间为 ， 的值域为-4，-3.( 单调区间为闭区间也可以).,fx(,)（） ,又 ，当 时， ，2()3)ga1(0,)x2()31)0gxa因此，当 时， 为减函数，从而当
21、 时，有 .0,1x(x(,g又 ，即当 时，有 ，2(),),x2(),x任给 ，有 ，存在 使得 ，1,x1(4,3fx0101gf则 又 ，所以 的取值范围是 。25,32aa或 a23a【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因
22、此，导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求)(xfy)(xfy导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式)(xfy0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据0)(f是函数 在 单调递增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在x),(ba),(cbbxf)()(xf单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二),(c区间就可以合并为以个区间。 【练 46】 （1） （2005 高考北京卷）已知函数 f(x)=x 33x 29xa, （I）求 f(x)的单调递减区间；（II）若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值答案：（1） （，1） ，（3，） （2）7（2）(2005 全国卷 III)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图), 问该容器的高为多少时 ,容器的容积最大?最大容积是多少?答案：当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960
