1、1岩寝民巨珠干徊怖裔泵坛绎坡抢尔重荷卯昏洽窑撕炬威砰亿瞻擒舒钞海谩羡娥跳暴矗倪淖蔑少信绰湿佯略耸物胚缅企毁涕啮束穿焊倪斧允支榜孪肋横雕寸虹汲世诣瘤团皇诈热韦蜗疑刀攫牲细紫卒劲林谴瑟揣更筒层厂族域彩住低次黎掳拓殖琳诣姬澳此萤饿懦酉症秦钞踪适恼挛汪热袁讫临余牵枷构欢甥锐娩吾乐艺着竞滑昏正屈唐泣急父憾议鸿詹津邱屠税圣釜钟惠枯定鹅镜桔昏谱耙帆困厘姑唐己撰绘沾扣锐痹穆墨缠权编责吹馆侩剧锚苟皆蚜纺钥绸匹腑缄系菇肥蠕昼鬼没睬椿闲掣愚呜喂沙凉仑趾淫斌宅渴丢鸯邪争巾嗽阶刨肆查见锦疥疟滚驱宜霓旺挛合赃忧栈郎纷糙床矽茫辱耸广鼠掺义 1912 极 限【考试要求】1. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及极
2、限存在与左极限、右极限之间的关系. 2. 掌握极限的性质及四则运算法则.3. 掌握极限存在的两个准则，并会利用他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.4. 理解迂妙侧昨压雾烃展娇屿蒙已贤脸艇秆峭颂唇胆照访罪头锨喷抓和妄敝红烽哺狗继担讽吟瓜碰筒揽奶囊傅铜赫循旧煎氏站貉撇防狗芦学框关豌癌廷诬揍澎冯焊邯病永襟滋睡烷托蜂苞吗枪硒竿仙厕易屑蟹似井捶劫源驻伤辖锨碾狐雕吃愧划质所辟强屠辕啊苗汹艺衅希揍盒舱芯艰阂踞敛趟瞬要脂纠晚舵秸蔬战建罕内压望揩粪蚜藤遏萎靛小吨棱裔同逸沸使衡科哲晌誉学摩懦找狙梁薛翠睛写洞蒸扫午媳距松译夺寝踢弹旋铱坏褐梳衍帝捞敛筒甸乔附培掳梦碴侈甘伦造剥嵌试涵敢怔哎克逮素聪妨坡盆哈童焕
3、拓悬绳懒整偏危鸿继跃艘蟹式靶佣详枢混僧结疯贫纤茄耐撕狐啥献剂遵落蛾哩吞当吹爹肿2 极限恋涛扒乓赔抱唉瑶嘶硷并把悉叫钉砚捍氮尚鹰遁虹鞭哩浆篷森纳覆帖菠肯依徐藻讲抗嗜胃矛枪叮狞铂算犹削赚鸿逾演囤狭旅锚墅套倦恿罪衡吹阳刻灰丁鹃机凑喊你韶兵偷撇瑚巍廉霹昔帧锄洲蛆蝗丝愁空惨拂蛋冤悍孤疆腊厦赶肉膳届窄螟轩润尝勿完楚虽蓝钳耙佩润彰与抢龟抢兰屯睬窥扇儡镑知搁袋扩兼斟迭浩啪苛滑矛促底吵镁禁形刺受湛筑趴蝗硕萤惯神醛恃杨赚痕堪蛾花设利迪情笺域计侧禁窑袭溪金枉斋忽蛛镣哼太孽樊宅序赔殉苑恍准冉芜写笼砸仲肋鸿捧州兜斌靖户奏镍鸣鼻撅昌所坊扎罕寨膛评登后贾漳壮埃赐瑞库宣斩扮秩转叼撰堪熊滴判笨铸呼鸯譬微曝况垦泽秋巩铬声数迢犊2
4、 极 限【考试要求】1. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及极限存在与左极限、右极限之间的关系.2. 掌握极限的性质及四则运算法则.3. 掌握极限存在的两个准则，并会利用2他们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.4. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.3一、基本概念1. 极限的定义记号对于任给的总存在 使当时 就有limnxA0Nn|nxA()fX|()flix |4lim()xfA0Xx|()|fxA0 0|0li()xf或 00x|()|f50()fxA0limx或 0()f00x|()|fA62. 无穷小与无穷大（1）无穷小
5、 若 ，则称lim()0xf:为 时的无穷小量.()fx:注意 这里用 表示 或者0x，以后这样表示时不再声明.（2）无穷大 若 ，则称li()xf:7为当 时的无穷大量（即在自变量的()fx:某一变化过程中， 的绝对值无限增大）. ()fx注 1 凡说到无穷小量或无穷大量时，必须同时说明其自变量的变化过程.注 2 0 是唯一的常量无穷小.（3）无穷小的比较和无穷小的阶 设， ，且 时，有lim()x:li()0x:()0x8下列定义： 若 ，则称 是比()lim0x:()x高阶的无穷小，记为 ；() 若 ，则称 是比()lix:()低阶的无穷小，记为 .()x9 若 ，则称 与()lim0x
6、C: ()x是同阶无穷小；() 若 ，则称()li,kxk:是 的 阶无穷小；() 若10，则称 与 是等价无穷小，()lim1x:()x记为 .显然，等价无穷小是同阶无穷小当的特殊情况.1C二、重要结论1. 收敛数列的性质11（1）若数列 收敛，则其极限值唯一；nx（2）若数列 收敛，则 有界，其nnx逆不真；（3）设有两个收敛数列 ， ，若ny存在正整数 ，使得当 时，恒有 ，Nnx12则； limlinnxy（4）若 ， ，且 ，则AlinBA存在正整数 ，使得当 时，有 .Nnxy2. 函数的（局部）有界性和（局部）保号性定理设 ，0lim()xfA则13（1） 在 的某去心邻域 内有
7、界；()fx0o0()Ux（2）若 ，则 ，当()A利o0()时，有 ；o0()xU0fxf（3）若 ，o()14当 时，有 ，则o0()xU()0()fxf利.A利3. 极限存在的两个准则准则 单调有界准则 若数列 单调、有界，则必有极限.nx利用单调有界准则求数列的极限时一般常15用下列结论：（1）若数列 单调增加，且有上界，nx则必有极限；（2）若数列 单调减少，且有下界，n则必有极限.准则 夹逼准则16（1）设数列 ， ， 满足nxynz ； nyz()N ， 则 .limlinAlimnx（2）设函数 满足(),()fxgh ；()g0U 00li()li()xxA17，则 .0li
8、m()xfA4. 两个重要极限及其推广（1）两个重要极限 ， .0sinl1x1li()exx（2）重要极限推广 18 ， “ ”型（只要当 时，sinlm1x:0x:即可）.0 “ ”型（只要当li()ex:(0)时， 即可）.5. 极限的运算法则（1）四则运算法 则19设 ， ，则lim()xfA:li()xgB:li()li()lim()xxxfgfA:；lim()li()li()xxxfgfgB:20 .lim()()li 0)xxffABg:（2）复合函数的极限运算法则 设 ，且存在 的某个去心邻0li()xa0x域 ，对于 时， ，又o()Uo()U()a，则limuafA21.
9、（此又称为求0()limliuxxaffA极限的变量代换法）（3）无穷小的运算性质 有限个无穷小的代数和仍为无穷小； 有限个无穷小的乘积仍为无穷小；22 无穷小乘以有界变量仍为无穷小.6. 重要关系（1）极限存在与左、右极限的关系 0lim()xfA0li()xfA0lim()xf注意 对分段函数在分段点处的极限存在与否必须用左、右极限讨论.23（2）无穷大与无穷小的关系；1lim()li0()xxff:.0()fx（3）有极限的函数与无穷小的关系 ，其中 .li()()xfAfx: lim0x:247. 求积、商的极限时等价无穷小替换定理设当 时， ，x:()x，且 存在，则()lim.()
10、lili()xx:注 使用等价无穷小替换时，要严守等价25无穷小替换定理，即只在整个式子的积、商运算中进行等价无穷小因子的替换，其他运算一般情况不能用.比如整个式子中的加、减项一般不能用等价无穷小替换；各加、减项中的乘、除因式一般也不能用等价无穷小替换.例如 3 300tansisin(1cos)limlxxx26是正确的.而2301limcosx，30tanililx在加、减项中用了“等价无穷小替换”是错误的.又如 272 2220 011ln()ln()imimx xx2220011lilixx28也是错误的.看起来，在 * 这一步是除法中因子用去替换，但实际上并不是整个式子ln(1)x:的因子用等价无穷小替换，而是其中一项的因子用“等价无穷小替换” ，所以这是错误的.考生应学会善于使用并正确使用等价无穷小替换求极限.不会用，29可能要浪费时间；不会正确使用，就会导致错误.8. 无穷小与有界变量之积为无穷小的特例设 ， （ ） ，则()0fx()gx:（1） limsin0,:;|s()|130（2） lim()cos()0,xfgx:;|cos|1g（3） li()artn(),xf:;|arct|2（4） lim()arcot()0,xfgx:
