1、高中数学常见的恒成立问题的一般解法摘要：本文针对高中数学的恒成立问题，通过分析恒成立问题在解题过程中的几种类型和解题的常用方法进行分类，并通过实例进行说明，比较系统的展现了高中数学中恒成立问题的一般解法，帮助学生对恒成立问题有了系统、详细的认识。关键词：恒成立问题；解法；函数；不等式我们在高中数学教学中，经常遇到一些恒成立问题，我们反复讲解，大多数学生也束手无策，不知道从哪里下手，找不到问题的突破口，因而感觉十分困难，主要是缺乏系统归类。高中数学中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活
2、性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：函数型；不等式型；方程型。而这三种类型又不是独立出现的，有时会把两者融合在一起。对于这三种类型的题解决的方法常有：函数性质法；分离参数法；数形结合法。一、 函数性质法函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，而对于恒成立问题经常用到函数的单调性。下面根据函数类型对利用函数性质法来解恒成立问题做一个说明。（一）一次函数型对于一次函数 y=f(x)=kx+b(k0), 若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）或一次函数的单调性（当 k0 时，y
3、=f(x) 在m,n内为增函数，当 ka+2x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。若将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。解：原不等式可化为(x-1)a+x 2-2x+10,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2 上恒大于 0 即 解得(2)f1342x13x或或x3.（二）二次函数型根据二次函数的定义域不同，二次函数分为两种类型若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a0 ，x R)大于 0 恒成立，则有0a若是二次函
4、数在指定区间上的恒成立问题，则可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例 2、 设 f(x)=x2-2ax+2,当 x -1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+ )时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.当 =4（ a-1)(a+2)0)，若对任意的 a3,6 ，不等式 f(x)1 在 x-2,2上恒成立，求实数 m 的取值范围。解：f (x)=3x2+2ax a2=3(x- )(x+a) 又 a03当 x 时， f (x)
5、03-1 o xy当-a0，f(x) max= f(-2) =-8+4a+2a2+m要使不等式 f(x)1 在 x-2,2 上恒成立，只需 f(x)max= f(-2) =-8+4a+2a2+m1即 m9-4a-2a 2 在 a3,6 上恒成立9-4a-2a 2 在 a3,6 的最小值为-87，m-87说明：此题不光涉及到高次函数的恒成立，还涉及到二次函数的恒成立，并且都用到利用最值法来解，所以在解题时注意恰当的使用最值法。对于复合型的函数，我们可以把它化为常见的函数类型来解。例 4、 关于 x 的方程 9x+(4+a)3x+4=0 恒有解，求 a 的范围。分析：题目中出现了 3x 及 9x，
6、故可通过换元转化成二次函数型求解。解法 1（利用韦达定理）：设 3x=t,则 t0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。即04)(21xa4016)(a48a或解得 a -8.解法 2（利用根与系数的分布知识）：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10. =0,即（ 4+a） 2-16=0,a=0 或 a=-8.a=0 时，f(x)=(t+2) 2=0,得 t=-20,符合题意。 a=-8.20. 0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴 ，024a即 a3 即 a0.则原方程可化为 t2+(4+a)t+4=0，即 4+a= 恒成立2t又t0，由均值不等式可得 =4244ttt -4，即 4+a-4, a-824t三、 数形结合法若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 6、当 x (1,2)时，不等式(x-1) 21,并且必须也只需当x=2 时 y2 的函数值大于或等于 y1 的函数值。log a21, 而 a1, 故 1a 2.参考文献：【1】 数学教学与研究2010,34 期【2】王双双恒成立问题的求解策略【3】 高考教练作者简介：李文：中学二级教师，本科，研究方向为中学数学教学。
