1、(二)定积分在几何中的应用(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数 y=f(x)在区间 a,b上的定积分等于由函数 y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。 例如：求曲线 和直线 x=l，x=2 及 x 轴所围成的图形的面积。 2fx分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为 232117xfd(2)求旋转体的体积 (I)由连续曲线 y=f(x)与直线 x=a、x=b(ab) 及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转
2、体的体积为 。2()baVfd()由连续曲线 y=g(y)与直线 y=c、y=d(cd)及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 。2()dcg(III)由连续曲线 y=f(x)( )与直线 x=a、x=b( b)及 y 轴围成的(0fx0a平面图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 。2()baVxfd例如：求椭圆 所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周而成的21xyab旋转体的体积。 分析：椭圆绕 x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆，与 x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭2()bya圆 所围成的图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为21x2
3、22232()()14a ayabbvdxdx 椭圆绕 y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆 ，与2,()axbyby 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周而成的，因此椭圆 所围成的图形绕 y 轴21旋转一周而成的旋转体的体积为222232()()14b bybaavydyd (3)求平面曲线的弧长 (I)、设曲线弧由参数方程 ()xty给出其中 在 上连续，则该曲线弧的长度为(,t,。22)sdx()设曲线弧的极坐标方程为 ，其中 在 上连续，()r()r,则该曲线弧的长度为 。22sd例如：求曲线 从 x=l 到 x=e 之间一段曲线的弧长。1ln4xy解： ，于是弧长微元为 ，221dsy
4、。11()()xddx所以，所求弧长为： 。2211()(ln)()24e exsd一、在几何中的应用 (一)微分学在几何中的应用 (1)求曲线切线的斜率 由导数的几何意义可知，曲线 y=( x)在点 处的切线等于过该点切线的斜0x率。即 ，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。 0()tanfx例如：求曲线 在点(1，1)处的切线方程和法线方程。 2yx分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：，所以，所求切线的方程为 y-l=2(x 一 1)，化解得切线方程为 11xxk2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为，化解得法线方程为 2y+x-3=0。1()2yx(2)求函数值增量的近似值 由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。 例如：计算 的近似值。 sin46o分析：令 f(x)=sin(x)，则 f(x)=cosx，取 ， ，则由微分的定045x01,()8x义可知 00002sin46i(51)sin().71948f
