1、第二章 行 列 式1. 求以下 9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5;2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4;3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:，10103所以此排列为偶排列。2) 所求排列的逆序数为:，834521798654所以此排列为偶排列。3) 所求排列的逆序数为:，36219673 所以此排列为偶排列。2.选择 与 使ik1) 1274 56 9 成偶排列；i2) 1 25 4897 成奇排列。解: 1) 当 时, 所求排列的逆序数为:38i，10140278563995627k故当 时的排列为偶排列
2、.。,8i2)当 时, 所求排列的逆序数为:63k，5101032489749725i故当 时的排列为奇排列。6,3ki3.写出把排列 12345 变成排列 25341 的那些对换。解: 12345 。25341254312144, 4.决定排列 的逆序数,并讨论它的奇偶性。n解: 因为 1 与其它数构成 个逆序,2 与其它数构成 个逆序,n2n 构成 1 个逆序,所以排列 的逆序数为n与21n时 排 列 为 奇 排 列 。当 时 ， 排 列 为 偶 排 列 ；故 当 34,212knn5.如果排列 的逆序数为 ,排列 的逆序数是多nx121 12xn少?解: 因为比 大的数有 个,所以在i
3、i与 这两个排列中,由 与比它的12xnnx12 ix各数构成的逆序数的和为 .因而,由 构成的逆序总数ii恰为 。2而排列 的逆序数为 ,故排列 的逆序数nx121 k12xn为 。kn6.在 6 阶行列式中, , 这两项应带有6514231aa2561432a什么符号?解: 在 6 阶行列式中,项 前面的符号为6514231。)1(4312645245同理项 前面的符号为2561432aa。44156所以这两项都带有正号。7写出 4 阶行列式中所有带有负号并且因子 的项。23a解： 所求的各项应是 ， ， 4321a41142314a。8按定义计算行列式：1） 2）0010 n .0101
4、0 nn3） 。nn012 解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 ，1,21nna它前面的符号应为 ，2)1(21)( nn所以原行列式= 。!2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 ，1,231naa它前面的符号应为 ，1123nn所以原行列式= ！。3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 ，nnaa1,2,1, 它前面的符号应为 ，2121nnn所以原行列式= ！。9由行列式定义证明：002154321edcbbaa解：行列式展开的一般项可表示为 ，列标 只54321jjjaa543j可以在 1，2，3，4，5 中取不同的值，故三个下标中至少有一个要取 3，4，5列中之一数，从
5、而任何一个展开式中至少要包含一个 0 元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为 0，因此原行列式值为 0。10 由行列式定义计算中 与 的系数，并说明理由。 xxf12343x解：含有 的展开项只能是 ，所以 的系数为 2；同理，4 4321a4含有 的展开项只能是 ，所以 的系 数为-1。3x4321ax11.由 ， 证明：奇偶排列各半。01 证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于 1。 而行列式的值为 0，这说明带正号与带负号的项的项数相等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第
6、二个下标所成排列为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号，所以，由带正号的项与带负号的项数相等即说明奇偶排列各半。12设，12122112nnnaaxxP 其中 是互不相同的数。21,1）由行列式定义，说明 是一个 次多项式；xP1n2）由行列式性质，求 的根。解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有 ，所以若行列式的第x一行展开时，含有 的对应项的系数恰为 乘一个范德蒙行列式1nx1n2121332211nnnaaaa 于是，由 为互不相同的的数即知含有 的对应项的系数不为 0，121,na 1x因而 为一个 次的多项式。xP1n2） 若用 分代替 时，则由行列式的性质知所给行
7、列式的值为2,a x0，即 .故 至少有 个根 .又因为 是一0iP1n121,na xP个 次的多项式，所以 必是 的全部根。1n2,a xP13计算下面的行列式：1） 2）617234350 yxy3） 4）3132145） 6）yx112222 22 31ddccbbaa解：1） 原式= 624370627043525= 。555 1091712）原式= xyxyxy 0)(22= 。3)(3）原式= 。48620163164） 原式= 10234132104=20 。60445）原式= yxyx101106）原式= =0 。2152312222 dcbaddccbbaa14.证明 。2
8、211222111 cbaacb证明：由行列式的性质，有左边=2 2222 1111 bacba=2 222111cbca=2 右边 。2211cba15算出下列行列式的全部代数余子式：1） 2）301244103解：1） ， ， ， ，61A1213A014， ， ， ，21202324。,1,0,765434241 333 AA2） ，,13121，,4,623221AA。5,53323116计算下面的行列式：1） 2）1234521032113） 4）53012210 21031221解：1）原式= = 210532104510251。2）原式= 10234610231=- =- 。12
9、3461235463）原式= 14253014205010=- 3860125938613806159=3 。4194）原式= 1360216244012806214028= 172013583621408=- 170283170817258=- 。83017计算下列 阶行列式：n1） 2）xyyx000 nnn nbaba 21212113） 4）mxxmnn 2121 n 235） n10022013 解：1）按第一列展开，原式= 。nyx12）从第 2 列起各列减去第 1 列原式= nnnbba12121211 当 时，原式=0；3当 时，原式= ；2n1212ba当 时，原式= 。11
10、3）原式= mxxmnnni 221。1120nni nnimxx 4）原式= 12010012012nn = ！。2n5）各列加到第 1 列得到原式=1002201132nnn = 。12n18.证明：1） 。ninnaaa10212100 2） 。011121001 axaxaxx nnn 3） 。 110001 n 4） 。cos2100cos0cos21cos 5） 。 ninn aaaa 1211321111 证明：4）分别将第 行乘以- 加到第 1 行，得),2(ni 1ia左边= nni aa 0100120= = 右边。)1(021nia4）从最后一行起，分别将每一行都乘以 后
11、加到其前一行，得x左边= 122331122010100nnnaxxaax 011 110111axxaaxxann nnnn =右边。4）将所给行列式记为 ，按第 1 列展开得nD，21nnn即 ，211nnnD此式对一切 都成立.故递推得，nn nnDD22 1243321在 中 的地位是一样的，故同理可得nD,，nn1所以 ，nD从而 =右边。1nn4）对 2 阶行列式，有 ， 此时结2cos1cs2o1cs2 D论成立。假设对阶数小于 的行列式结论皆成立，则对 阶行列式 按最后一行nnnD展开，得 ，因为21cos2nD，sin1sico1scs2 nn代入 可得nDnn nDcos1
12、cosi1i si1sico2故对一切 结论成立，即证。4）左边= nnaa11101112 = nnin aaaa 01001001 2112= =右边。nia12119用克拉默法则解下列方程：1） 2）4356221431xx8234631321xx3） 4）322485321453214xx1506154342312x解：1） 。7,0,7,0,74321 ddd所以方程组有唯一解：。1,1, 4321 dxxdxx2） 。68,2,648,344321 所以方程组有唯一解：。2,1,2,14321 dxxdxx3） 。31,68,9,6,9,4 54321d所以方程组有唯一解：。13,
13、7,4,14,4 54321 dxxdxdxx4） .2,9,0,5,507,6 54321所以方程组有唯一解：。651,37,5,139,65421 xxx20设 是数域 中互不相同的数， 是数域na,21 Pnb,21中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域 上P P的多项式 使1210 nxcxcxf 。iibaf ,证明：由 得iifnnnnbacac1210 22 112110 .这是一个关于 的线性方程组，且它的系数行列式110,n为一个范得蒙行列式.由已知该行列式不为 0，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式是唯一的。21设水银密度 与温度 的关系为 ，ht 3210tatah由实验测定得以下数据：求 ，40 时的水银密度（准确到两位数） 。15t解：将 的实验数据代入关系式h,，得 ，且3210tata60.1008.27903584.31aa因为系数行列式40,18,502793423216dd由克拉默法则可求得Ct010 20 30h13.60 13.57 13.55 13.52，03.,015.,42.031 aaa故所求关系式为，320.15.042.60.13ttth再将 分别代入上式，其水银密度分别为,5t。,6.135th48.130th
