1、综合高中高三数学学案第八节 解斜三角形初稿 卢福明 审定 知识点解析1.正弦定理、余弦定理设ABC 的三个内角 A、B、C、的对边分别为 a、b、c，R 是 ABC 的外接圆半径.（1）正弦定理 = = =2R.asinbsin正弦定理的三种变式：a=2R sinA，b=2RsinB，c=2RsinC.sinA= sinB= ，sinC= .abc= sinAsinBsinC.R2Rc2（2）余弦定理a =b +c 2bccosA，b =c +a 2cacosB，c =a +b 2abcosC，2或 , ，bca2cosacbos2bac2os2.解斜三角形的类型解斜三角形有以下表示的四种情况
2、已知条件 应用定理 一般解法一边和二角 正弦定理由 A+B+C=180，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c，= acsinB，有解时只有一解S21两边和夹角 余弦定理由余弦定理求第三边 c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由 A+B+C=180求出另一角. = absinC,在有解时S21只有一解三边 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用 A+B+C=180，求出角C，= absinC 在有解时只有一解S21两边和其中一边的对角（a，b，A）正弦 定理由正弦定理求出角 B；由 A+B+C=180求出角 C；再利用正弦定理求出 c 边. = absinC，有两解一解或无解，S21详见下表.
3、在ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直 角图形关系式 a=bsinA bsinA b解个数 一解 两解 一解 一解（三）常用性质及结论1.常用性质 （1）sin(A+B)=sinCcos =sin ，2CBA（2）若 A、B、C 成等差数列B=60 ； （3）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.2.面积公式 = absinC= bcsinA= acsinB， S21= (其中 S= ，ABC)(csbas2cba=rs= r(r 为内切圆半径)， = （R 为外接圆半径）.S2ABCS43.实际应用问题中的术语（1）仰角和俯角：与目
4、标视线在同一铅直平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的叫仰角，下方的叫俯角.（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角.（3）方位角：从指定方向顺时针到目标方向线的水平角.（4）视角：两目标线的夹角. （5）坡度：坡面与水平面所成的二面角.题型一：三角形中的有关计算问题例 1：【2012 高考安徽文 16】设 的内角 所对边的长分别为 ，且有ABC, ,cba。CAsincosincosi2（）求角 A 的大小；（) 若 ， ， 为 的中点，求 的长。2b1cDBCAD练习：已知在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若ABC 的面积为 S，且 2S=（
5、a+b) -c ，求tanC 的值.2例 2：（2011 浙江）在 中，角 .所对的边分别为 a,b,c已知 sinsin,ApBR且214acb（）当5,14pb时，求 ,ac的值；（）若角 B为锐角，求 p 的取值范围；练习：（2012 年高考（重庆）设 的内角 的对边分别为 ,且ABC,abc则 _35cos,s,31Abc题型二：三角形的形状判定问题例 3：2010 辽宁）在 AB中， ac、 、 分别为内角 ABC、 、 的对边，且 2sin()sin(2)sinabcbC（）求 的大小；（）若 1C，试判断 的形状.练习：1、（2012 年高考（上海理）在 中,若 ,则ABCCB2
6、22sinisin的形状是 （ ABCA锐角三角形. B直角三角形. C钝角三角形. D不能确定.2、ABC 中，若 b sin C+c sin B=2bccosB cosC，试判断三角形的形状.22题型三：解三角形的实际应用问题例 4：（2010 福建）O某 港 口 要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上。在 小 艇 出 发 时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。（1）若希望相
7、遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。练习：（2011 上海）在相距 2 千米的 A B两点处测量目标 C，若0075,6CAB，则 C两点之间的距离是 千米。综合高中高三数学课时练第八节 解斜三角形初稿 卢福明 审定 1.三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a 、b、c，若 A=60，B=75，a=2 ，则 c 的值（）A. 等于 2 B.等于 4 C.等于 2 D.不确定32.在ABC 中，角 A、B、C
8、的对边分别为 a、b、c，且 a=1，B=45， =2，则ABCSABC 外接圆的直径为（）A. 4 B.5 C.5 D.6 33.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（）A.akm B. akmC. akm D.2akm324.锐角三角形中，a,b,c 分别是三内角 A、B、C 的对边，设 B2A，则 的取ab值范围是（）A .（-2,2） B.（0,2） C.（ ，2） D.（ , ）235.在ABC 中，已知 a=xcm，b=2cm，B=45，如果
9、利用正弦定理解三角形有两解，则 x 的取值范围是（）A.2x2 B.2x2 C.x2 D.x26.ABC 的内角 A 满足tanAsinA0，sinA+cosA0，则角 A 的取值范围为（）A.（0， ） B.（ ， ）C. （ ， ） D. （ ，）4437.在ABC 中，关于 x 的方程（1+x ）sinA+2xsinB+(1x )sinC=0 有两个不等的22实数根，则 A 为（）A. 锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在8. ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，B=30，ABC 的面积为 ，则 b= A. B.1+ C. D 23231233
10、9. （2012 年高考（湖北）设 ABC的内角 , ,C所对的边分别为 a,b,c. 若()()abcab,则角 _. 10.在ABC 中，若 AB=1，BC=2，则C 的取值范围是 .11.某人向正东方向走 x 千米后，他向右转 150.然后朝新方向走 3 千米，结果他离出发点恰好 千米，那么 x 的值为 .312.ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，其中 C 为最大边，并且sin A+sin B=1，则ABC 的形状为 .2答案 14 58 9 10 11 12 13.在非等腰ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 a、b、c 成等差数列（a0)的最小正周期为 .32 2（）求 的值； （）设ABC 的在边 a 、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，求此时函数 f(x) 的值域 .13. 1. 1. 1. （2012 年高考（福建理）已知 得三边长成公比为 的等比数列,ABC2则其最大角的余弦值为_.2. （2012 年高考（北京理）在ABC 中,若 , , ,则2a7bc1os4B_.b3. （2012 年高考（安徽理）设 的内角 所对的边为 ;则下列命题正,abc确的是 _若 ;则 若 ;则 2ac3C2abc3C若 ;则 若 ;则3b2()2若 ;则2()ca4.
