1、數學 PK 禪師来源： 滕锶焓的日志 青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么什么方法能让她改变？”禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。 ”青年略一沉吟，默默地掏出一个麦比乌斯环。麦比乌斯环（Mbius strip 或者 Mbius band） ，又译梅比斯环或麦比乌斯带，是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面） ，和一个边界。它是由德国数学家、天文学家莫比乌斯（August Ferdinand Mbius）和约翰 李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年独立发现的
2、。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手性的莫比乌斯带，反之亦类似。莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成一个把纸带的端头扭转了两次再结合的环（并不是莫比乌斯带） ，再把刚刚做出那个把纸带的端头扭转了两次再结合的环从中间剪开，则变成两个环。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比
3、如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个 Paradromic。啦啦青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分明朗开阔吗？”那个青年画了一条皮亚诺曲线。皮亚诺曲线（Peano curve）是一条能够填满正方形的曲线。 在传统概念中，曲线的数维是1维， 正方形是 2维。1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线，其构造方法如下：取一个正方形并且把它分出四个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至右下角的正方形结束
4、，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成四个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来将这种操作手续无限进行下去，最终得到的极限情况的曲线就被称作皮亚诺曲线。皮亚诺对区间0，1上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于 t0,1,可规定两个连续函数 x=f(t)和 y=g(t),使得 x 和 y 取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。啦啦青年再问禅师，我的头脑却是被这种繁杂的世俗所装满，却要如何是好？禅师说，你画一个没有瓶子。它总有一个尽头。你不
5、把它里面的东西倒出来，怎么装新的进去？青年若有所思，画了一个克莱因瓶。数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如2维平面，就没有“内部”和“外部 ”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯 克莱因（Felix Christian Klein）提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带（M bius strip）非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过
6、表面（所以说它没有内外部之分） 。啦啦青年问禅师：“我现在遇到了很多很多的困难和烦恼，怎么办？”禅师说：“你随手画一条曲线，用放大镜放大了看，它还有那么弯曲吗？”那个青年画了一个魏尔斯特拉斯函数。在数学中, 魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔魏尔斯特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 18
7、151897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。啦啦青年问禅师：“大师，我喜欢一个姑娘，但是我和她相距千里，她又不喜欢我。 ”禅师笑道：“得不到就是得不到，这就是没有缘分吧，你和她像两个平行线永远没有交点。 ”青年略一沉吟：“黎曼几何。 ”微分几何中，黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分
8、加起来而得出整体的数量。19世纪，波恩哈德黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是：球面几何和双曲几何。任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑（笔者注：扯倒这两个字，你就实在没什么好再多计较的了）问题。它成为伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是广义相对论的四维研究对象。一般理论 高斯-博内定理：紧致 2 维黎曼流形上高斯曲率的积分等于 这里的 记作 M 的欧拉示性数。 纳什嵌入定理(两个) 被称为 黎曼几何的基础理论。 他们表明每个黎曼流形可以是嵌入欧几里得空间 Rn.（看懂没有？没关系，我也不懂）啦啦青年问禅师：“大师，我想要很多钱，但是我又不想付出，你能教给我
9、方法吗？“禅师微笑说：”可以，但是你要先给我找一样东西，它无穷无尽，又不占任何地方。 “青年思索一会儿，默默的写了一个康托尔集。在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格康托尔在1883年引入（但由亨利约翰斯蒂芬史密斯在1875年发现） ，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法一个无处稠密的完备集的例子。康托尔集是由不断去掉线段的中间三
10、分之一而得出。首先从区间0, 1中去掉中间的三分之一(1/3, 2/3)，留下两条线段：0, 1/3 2/3, 1。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：0, 1/9 2/9, 1/3 2/3, 7/9 8/9, 1。把这个过程一直进行下去，其中第 n 个集合为：康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间0, 1中的点组成。上面的图显示了这个过程的最初六个步骤。啦啦青年问禅师：“大师，我害怕死亡，你能告诉我怎么办吗？”禅师笑答：“世界上任何东西最后都归为死亡，没有任何东西是不生不死的。 ”青年抓来一只薛定谔的猫。薛定谔的猫（Erwin Schrodingers Cat）是奥地利物
11、理学家埃尔温薛定谔试图证明量子力学在宏观条件下的不完备性而提出的一个思想实验。实验内容如下：“把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性原子核和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验 ”者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“ 未衰变的原子核和活猫 ”两种情况。现在的问题是：这个系统从什么时候开始不再处于两
12、种不同状态的叠加态而成为其中的一种？在打开盒子观察以前，这只猫是死了还是活着抑或半死半活？这个实验的原意是想说明，如果不能对波函数塌缩以及对这只猫所处的状态给出一个合理解释的话，量子力学本身是不完备的。这个思想实验的意义是，将量子理论从微观领域带到了宏观领域，而导出和一般常识相冲突的结果。根据哥本哈根学派的解释，当观察者未打开盒子之前，猫处于一种“又死又活”的状态，该状态可以用一个波函数来描述，而波函数可由薛定谔方程解出。一旦观察者打开盒子观察，波函数会坍塌，猫呈现在观察者面前的只会是“生”或“死”的状态之一。这导致了对世界客观性和人意识的作用的讨论。根据多世界理论，当观察者打开盒子的一刻，世
13、界会分裂成多个世界，而观察者只能进入众多的世界其中的一个，而观察结果就因此只有一个，猫是“生”或“死”。而在其他世界里猫的状态会由薛定谔方程决定。其生存的概率越大，猫幸存下来而处于其中的世界的数目就越多。薛定谔的猫可被视为一个佯谬，由“不确定”的衰变检测器毒药猫的生死构成一条因果链，将量子的不确定与宏观物质（猫的生死）的不确定性联系起来，而根据日常经验，无论我们是否观察，猫的状态必为生或死中之一。（因为我很喜欢这个故事，所以多讲两句）啦啦青年问禅师：“我觉得我在这个世界上是多余的，没有人需要我。 ”禅师说：“就像你所学的数学，无论怎样复杂艰深的函数，都有适合的图形对应。你只是还没找到那个图形而
14、已。 ”青年沉思一番，提笔写下了狄利克雷函数的解析式。狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为 的不连续函数。当 自变量 为有理数时， ； 自变量 为无理数时， 。狄利克雷函数的图像关于 轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。性质 定义在整个数轴上。 无法画出图像。 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期） 。 处处无极限、不连续、不可导。 在任何区间上不黎曼可积。 是偶函数。 它在0,1上勒贝格可积作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理
15、数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数） ，同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。啦啦青年问禅师：“大师，在单位，他们总嫌我棱角太突出，不合群！”禅师掏出数根圆柱铺在地上，在上面搁了一块木板，并推动它，说：“你看，轮子合作一致才能保持所承载木板的平稳前进，你能找到棱角突出的形状也让木板平稳 前进吗？”青年略一沉吟，默默地掏出一个莱洛三角形。（滚啊滚啊滚啊）勒洛三角形，也译作莱洛三角形或弧三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条
16、平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由 Franz Reuleaux,一个十九世纪的德国工程师命名。啦啦青年： “我发现我的内心到处都是空虚，怎么办？” 禅师说：“一块破烂不堪的布，剪下其中的一小块，不也是完好无缺的么？” 青年默默地掏出了一块谢尔宾斯基地毯。谢尔宾斯基地毯是由瓦茨瓦夫谢尔宾斯基于1916 年提出的一种分形，是自相似集的一种。它的豪斯多夫维是 log 8/log 3 1.8928。门格海绵是它在三维空间中的推广。构造：谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正
17、方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。（谢尔宾斯基三角形）啦啦青年人问大师：“四季循环，昼夜更替，为什么会有这种自然规律？” 大师微微思索道：“你看天上恒河沙数，但它们都有自己既定的运行轨道。但凡我们能够描述的事物，都会有它自己的规律。 ” 于是，青年人在沙地上写出了薛定谔方程。薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926 年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
18、不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述（path integral formulation） 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题
19、。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为；(1)其中， 是质量， 是位置， 是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克常数， 是位势。（剩下的好罗嗦我也没有耐心慢慢讲的）啦啦青年：“大师，我期末辛苦准备了很久成绩却还是不好，GPA 降了好多，有什么方法能让我GPA 只升不降么？”禅师浅笑，答：“潮涨潮落, 月圆月缺，这世上可有什么规律是一直增长却断然不会下降的？”青年略一沉吟,说：“ 熵” 。化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数，也就是当总体的熵增加，其做功能力也下降，熵的量度正是能量退化的指标。熵亦被用于计算一个系统中的失序现象。熵是一个描述系统状
20、态的函数，但是经常用熵的参考值和变化量进行分析比较。啦啦青年问禅师：“我工作很努力，但是事业上没有一点成就，怎么办？“禅师说：”九十度很热，但是这样的水温，能让水沸腾吗？“青年略一沉吟，说”我是拉萨长大的“（这没什么好说的，中学科学，气压和沸点神马关系。在海拔较高的地区，由于气压较低，沸点也相对低得多。当气压上升，物体的沸点相应上升，达到临界点时，物体的液态和气态相一致。物体的沸点不可能提高到临界点以上。反之，当气压下降，物体的沸点相应下降，直至三相点，类似地，物体的沸点不能降低到三相点以下。 ）啦啦禅师举着一个钵，让青年把他装满，青年装了一钵石子。禅师说，其实，钵并没有满，于是往里又加了一些
21、沙子，问，现在满了吗？青年略一沉吟，说，没满，还可 以加水，然后加盐至过饱和，不行的话用溶解度大的盐，或者加氢氟酸溶解掉沙石，后蒸去残液，再加高温熔融，再还原成硅单质并且做成闪存装满数据。啦啦禅师：我给你讲个人生哲学吧！青年：好！禅师：世界第一高峰是哪个？青年：珠穆朗玛峰！（喜马拉雅山，海拔：8844.43米）禅师：世界第二高峰呢？青年：乔戈里峰！（喜马拉雅山，海拔：8611米）禅师：第三高峰呢？青年：干城章嘉峰！（喜马拉雅山，海拔：8586米）禅师：第四高峰？青年：洛子峰（喜马拉雅山，海拔：8516米）禅师：第五？青年：马卡鲁峰！（喜马拉雅山，海拔：8,462米）禅师：青年：哎，说起来，你刚
22、才说想给我讲的人生哲学是什么啊？禅师：呔！吃我一记大慈大悲千叶掌！啦啦青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是她总是念叨房子和车子，有什么方法能让她改变？” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山找一个东西，能让人忘记一切身外之物” 青年略一沉吟，掏出一个无知之幕。无知之幕（veil of ignorance）和原初状态是约翰夏仙义提出的概念，之后约翰 罗尔斯在正义论中使用。 是一种对特定道德问题（如：中华人民共和国高考政策或奴隶制）判断的方法，过程是做以下思想实验：从对本人在社会秩序中特长、爱好与位置无知的原初状态出发，思考问题。无知之幕遮住了一个人社会合作
23、对其利弊的知晓，然后决定社会中对权利、位置和资源分配原则。正如罗尔斯写道“.这一点保证了任何人都不会在选择原则时由于天然机会的结果或社会环境中的偶然事件而有利或不利。 ”这个概念是为了在分配社会合作的原则正义与否时抹除一己之私而创造的。例如，在一个想象中的社会里，一个人是或不聪明、富有或者出生在优等阶级里。一旦无知之幕，这个人可能会成为社会中的任意位置，这驱使人从社会最不幸的成员的角度考虑问题。无知之幕是长期以来社会契约的考虑方法。啦啦青年问禅师：“大师，我总是身陷生活的琐事之中不可自拔，有什么办法让我摆脱尘世的羁绊？” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山找一张没有任何空隙的罗网” 青年略一沉吟，问德沃金借了张网。.
