1、运筹学实验报告实验序号：03 日期：2012 年 6 月 5 日班级 电气1101姓名 吴升进 学号 1111180122实验名称 对偶问题探索问题背景描述： 有些问题，本身形式上比较复杂，求解不容易；是否能找到一种比较简单的快捷的模型与他相关，在求出该导出模型时，也得到了原问题的解呢？基于此思考，找到了对偶问题解决它。实验目的：学会求原问题的对偶问题，并且利用对偶问题求解原问题，验证对偶问题就是原问题的解。选择实验中已经求解过的几个实例，首先写出他们的对偶问题并分别求解，然后验证对偶问题的解与原问题解之间的关系。实验原理与数学模型：对同一事物，从它不同的角度和立场去观察，有两种相对的表述，若
2、求出原问题的相对表述的解，就可以得出原问题的解了。数学模型：现已知某问题模型如下，minZ=3*x1+2*x2+x3+4*x4;约束条件：2*x1+4*x2+5*x3+x4=0;2*x1-x2+7*x3-2*x4=2;5*x1+2*x2+x3+6*x4=15;x1,x2,x3,x4=0;用对偶理论求解线性规划，并验证其结果与原问题的解相同。实验所用软件及版本：LINGO 11.0实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：解：其对偶问题为:maxZ=2*y2+15*y3;2*y1+2*y2+5*y3=0;对偶问题 lingo 求解模型：max=2*y2+15*y3;2*y1+2
3、*y2+5*y3=0;2*x1-x2+7*x3-2*x4=2;5*x1+2*x2+x3+6*x4=15;End解答结果：Global optimal solution found.Objective value: 9.000000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostX1 3.000000 0.000000X2 0.000000 0.8000000X3 0.000000 0.4000000X4 0.000000 0.4000000Row Slack or Surplus Dua
4、l Price1 9.000000 -1.0000002 6.000000 0.0000003 4.000000 0.0000004 0.000000 -0.6000000（转下页）实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：第一步：建立对偶问题模型，即将原问题转化为其对偶问题。第二步：求解对偶问题第三步：求解原问题第四步：对比原问题和对偶问题的最优解，得出结论。实验结果报告与实验总结：由以上结果知：对偶问题和原问题最终结果一样，目标最优解都是 9，在 y3 取得 0.6、y1、y2 取 0 时，可得到最优解。同时，在x1=3、x2=0、x3=0、x4=0 时，同样也取得最优解
5、 9。故可知原问题与其对偶问题解相同。思考与深入：在原问题复杂的情况下，可以考虑使用其对偶问题来解答最终结果。提升练习题：已知某公司生产 m 、n 两种不同类型的产品，并且他们分别要经过 A，B，C 设备上进行加工，有关数据如下表-1.问，如何生产才能使生产盈利最大？并利用对偶问题进行求解；表-1设备代号产品 M N 有效设备台时/月A 1 4 8B 4 0 16C 0 4 12单位产品利润/千元 2 2原问题求解：解：设生产 M、N 种产品分别 x1,x2 个，则最大利润为 Z 有：MaxZ=2*x1+3*x2;约束条件：X1+2*x2=0;对偶问题为：minW=8*y1+16*y2+12*
6、y3;Y1+4*y4=2;2*y1+4*y3=3;Y1,y2,y3=0;实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：原问题求解：Lingo模型：Max=2*x1+3*x2;X1+2*x2=2;2*y1+4*y3=3;end求解结果：Global optimal solution found.Objective value: 14.00000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostY1 1.500000 0.000000Y2 0.1250000 0.000000Y3 0.000000 4.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 -1.0000002 0.000000 -4.0000003 0.000000 -2.000000实验结果分析：有上面求解结果知:在只生产 m 时可使利润达到最大值，最大值为 14 千元；同时有对偶问题的曲解结果知：使用工序 Ab 分别为 1.5 和 0.125 工时时，可使利润达到最大，最大利润为 14 元；深入思考：对结果的分析知：这例题跟证明了原问题和对偶问题的求解结果是一致的，最终得到的最有值相等；因此，有时我们可以考虑使用问题的对偶问题求出最优解。教师评语：
