1、复变函数第三章学习指导一、 知识结构1.定 义复 变 函 数 积 分 的 一 般 概 念 性 质计 算2.3910393.8/定 理 .柯 西 积 分 定 理 定 理定 理 .柯 西 积 分 公 式 ： 定 理公 式 （ .）解 析 函 数 的 性 质 高 阶 导 数 公 式 公 式 （ ）刘 维 尔 定 理最 大 模 原 理牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 ： 定 理莫 勒 拉 定 理 3.18 调 和 函 数 、 共 轭 调 和 函 数 的 定 义3.解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ： 定 理 线 积 分 法偏 积 分 法已 知
2、 解 析 函 数 的 实 （ 虚 ） 部 求 其 虚 （ 实 ） 部 不 定 积 分 法全 微 分 法二、 学习要求 理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；5.掌握关于调和函数的定义及关于共轭调和函数的定义，理解调和函数与解析函数的关系，掌握从已知解析函数的实部（或虚部）求出它的虚部（或实部）的方法三、 内容提要1.积分基本定理定理 3.3 设 为复平面上的单连通区域， 为 内的任意一条围线，若 在 内GcG)(
3、zfG解析，则 0d)(czf定理 3.10 设有围线 ，其中 中的每一条均在其余各条n,210 nc,21的外部，而它们又全都在 的内部；又设 为由 的内部与 的外部相交的cG0n,21部分组成的复连通区域（图 4-4） ，若 在 内解析，且在闭区域 上连续，则)(zf Gd10ncc（3.13）2.积分基本公式定理 4.5 设 是以围线 为边界的单连通区域，若 在 内解析，且在 上连Gc)(zfG续，则（3.15）zzfzfc000d)(i21)(3.高阶导数公式定理 3.13 设 是以围线 为边界的单连通区域，若 在 内解析，且在 上连Gc)(zfG续，则 在区域 内有各阶导数，并且有)
4、(zf（3.19）zzfnzfcnn 0100)( d)(i2!4.刘维尔定理若 在复平面上解析，且有界，则 必为常数。)(zf )(f最大模原理设 为区域， 为有界闭区域，函数 在 内不是常数，若 在Gc)(zfG)(zf内解析，且在 上连续，则 zMzf,)(其中的 为 在 上的最大值。M)(zfG最大模原理为我们提供了一种证明在区域 内解析的函数 为常数的方法：只须G)(zf证对 内某点 有 即可，其中的 为 在 上的最大值。0zf)(0 )(f莫瑞拉定理定理 4.15 设 在单连通区域 内连续， 为 内任意一条围线，若)(zfGc0)d(czf则 在 内解析。)(zfG莫瑞拉定理不仅给
5、出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理 4.2（积分基本定理）一起可得解析函数的又一等价定义。四、 典型例题例 1 计算积分 。2d1zz解 首先，识别积分类型由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点 与1z，所以，想到用“挖奇点”法来计算。z其次，为了用“挖奇点”法，作 ，由定理 4.4 有21:,21:1zczc 21 dd2 ccz最后，计算上式右端两个积分，对这两个积分分别重复例 4.4 的解题步骤，得11 d2cc zz1izi22 d1cc zz1izi故 i2d12zz例 2 计算积分 。134d)(zz解 由高阶导数公式 14134)(!2i)( zzzi例 3 计算 2
6、|d|RIaA，其中复常数 a满足 |R，实常数 0解 设 ie，则 i ide|de 于是 2 2| | |ddi()|)()RRRIaaa A2| | di i()A| d()Raa若 |,R则2|Ra，故根据柯西积分公式有22i|IRaa若 |,aR则2|Ra，故根据柯西积分公式有22i|IRaR例 4 求 10|98.5d()zkIA解 解题思路 由于函数10()kfz在积分边界 |98.5z内有 98 个奇点，而在边界外只有 2 个奇点，显然用有界区域的柯西积分公式计算量很大容易看出该被积函数满足无界柯西积分条件， ,zf，故利用无界区域的柯西公式求解较为方便设 910,C分别只包含
7、奇点 9 10z且彼此不相交，利用复合闭路柯西定理和无界区域的柯西积分公式，得到9 101010|98.5|98.510dd()()()()z zk kCCkkIzzAA9 10109()()ddk kCCzzA1019 119872()9!()()8!97!kk 例 5 试根据复变函数环路积分讨论公式00 d2iLLzzA， 不 包 含， 包 含的物理意义解 设在点 0z有电量为 04的点电荷, 在复平面上形成二维静电场（向量场） ,我们知道在点 处的场强为： 00222200()()xyrrQ eeeEe其中 ,rxy分别代表径向, ,y方向的单位矢量于是电场强度 的分量为： 0 02222,()()()()x yExy我们注意到函数 0 0222200011i i()i()()()()()xyx Ezy 易见向量场（电场 xyEe）正好与这个函数的共轭相对应，因此0 02222000di d(i)()()()()ididiLLxyxyyxLLLLz EEss AAEln上式中矢量 0,ln含义与复变函数环路积分物理意义中的含义相同。其物理意义：由场论知电场是无旋的场，则电场强度 沿着 的环量0dLsAl另外，如果 L包含 0z点，则通量 2n；如果 不包含 点，则通量 L0E
