1、中考数学复习（45）：圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。精典例题：【例 1】已知如图，AD 为O 的直径，AB 为O 的切线，割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若 AB2。求：（1）BC 的长；（2）O 的半径 r。分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。解：（1）设 BMMN NC x，由切割线定理可得： BMNA2即 )(2x解得： 2，BC3x；（2）在 RtABC
2、 中，AC 142ABC由割线定理可得： MND 714ANC 145)2()(21r【例 2】如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA 10，PB5，BAC 的平分线与 BC 和O 分别交于点 D 和 E，求 A的值。分析：由切割线定理有 PCB2，可得直径 BC 的长，要求 ，由ACEADB 得 ED，也就是求 CA、BA 的长。解：连结 CEPA 是O 的切线， PBC 是O 的割线 PCBA2又 PA10，PB5，PC20，BC15PA 切O 于 A，PAB ACP又P 为公共角，PAB PCA 210CBC 为O 的直径，CAB90 0 52BA例 1图
3、 ON MDC BA例 2图 POEDC BAAC 56，AB 3又ABCE，CAEEABACEADB， ACDEB 90536AD【例 3】如图，AB 切O 于 A，D 为O 内一点，且 OD2，连结 BD 交O 于C，BC CD3，AB6，求 O 的半径。分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。解：延长 BD 交O 于 E，两方延长 OD 交O 于 F、G，设O 的半径为 rBA 切O 于 A， BEC2AB6，BC3，BE12 ，ED 6又 DGF，FD rOD， DG rOD 3)(，OD2 182r， r探索与创新：【问题一】如图，已知 AB 切O 于点 B，A
4、B 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，交O于 D、E ，设点 M 是射线 CF 上的任一点，CM a，连结 AM，若 CB3，DE8。探索：（1）当 M 在线段 DE（不含端点 E）上时，延长 AM 交 O 于点 N，连结 NE，若ACMNEM ，请问：EN 与 AB 的大小关系。分析：如图 1，由ACMNEM 可得NEM 90 0，连结 BO 并延长交 EN 于 G，可证 BO 垂直平分 EN，即可证明 ENAB，结论就探索出来了。解：AB 的垂直平分线 CF 交 AB 于 C，CB 3AB6，ACM 90 0又ACMNEM，NEM 90 0连结 BO 并延长交 EN 于点 GCB 切O
5、 于 B，GBC90 0GBCBCE GEC90 0四边 BCEG 是矩形EGB90 0，G 为 NE 的中点EN2EG 2CB 6AB （2）如图，当 M 在射线 EF 上时，若 a为小于 17 的正数，问是否存在这样的 a，使得 AM 与O 相切？若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由。分析：先满足 AM 与O 相切，求出相应的 值，看它是否是小于 17 的正数即可。解：当 AM 与O 相切于点 P 时，有MP AMAPAMAB AM 6MC a，AC3，ACM90 0例 3图 GFOE D C BA问 题 图 1 NMGFOEDCBA 问 题 图 2 M FOEDCBAAM 92a，又
6、 MDMCCD 1aMEMCCE ， MEDP2 )9(1)6(22即 018a，解得 80（ a已舍去） 70存在这样的正数 ，使得 AM 与O 相切。跟踪训练：一、选择题：1、PT 切O 于 T，割线 PAB 经过 O 点交O 于 A、B ，若 PT4，PA2，则cosBPT（ ）A、 54 B、 21 C、 83 D、 32、如图，四边形 ABCD 内接于O，ADBC 12，AB35，PD40，则过点 P 的O 的切线长是（ ）A、60 B、 40 C、 35 D、50第 2题 图 P ODCBA第 3题 图 QPCBA第 4题 图 TDOPCBA3、如图，直线 PQ 与O 相切于点 A
7、，AB 是O 的弦， PAB 的平分线 AC 交O 于点C，连结 CB 并延长与 PQ 相交于 Q 点，若 AQ6，AC5，则弦 AB 的长是（ ）A、3 B、5 C、 310 D、 524、如图，PT 切O 于 T，PBA 是割线，与O 的交点是 A、B，与直线 CT 的交点是 D，已知 CD2，AD3，BD4，那么 PB（ ）A、10 B、20 C、5 D、 8二、填空题：1、如图，PA 切O 于 A，PB4，PO5，则 PA 。2、如图，两圆相交于 C、D，AB 为公切线 A、B 为切点，CD 的延长线交 AB 于点 M，若AB12，CD9，则 MD 。第 1题 图 OP B A第 2题
8、 图 CDM BA第 3题 图 OCDM BA3、如图，O 内两条相交弦 AB、CD 交于 M，已知 ACCMMD，MB 21AM1，则O 的半径为 。4、如图，在ABC 中，ABAC，C72 0，O 过 A、B 两点且与 BC 相切于点 B，与AC 交于点 D，连结 BD，若 BC 15，则 AC 。第 4题 图 OCDBA第 6题 图 OC BA5、已知O 和O 内一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若 24PA，OP5，则O 的半径长为 。6、如图，在 RtABC 中，C90 0，AB 13，BC a，AC b，半径为 1.2 的O与 AC、BC 相切，且圆心 O 在斜边 A
9、B 上，则 b 。三、计算或证明题：1、如图，已知 RtABC 是O 的内接三角形，BAC 900，AH BC，垂足为 D，过点B 作弦 BF 交 AD 于点 E，交O 于点 F，且 AEBE。（1）求证：AB；（2）若 32F，AD6，求 BD 的长。 第 1题 图 DHFEO CBA2、如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，CB 交O 于 D，DE 切O 于 D，BE DE于 E，BD10，DE、BE 是方程 032)(2 mxx的两个根 )(BE，求 AC 的长。第 2题 图 D EOCBA3、如图，P 是O 直径 AB 延长线上一点，割线 PCD 交O 于 C、D 两点，弦 D
10、FAB于点 H，CF 交 AB 于点 E。（1）求证： PBA；（2）若 DECF ，P 15 0，O 的半径为 2，求弦 CF 的长。 第 3题 图 POHFEDCBA4、如图，O 与P 相交于 A、B 两点，点 P 在O 上，O 的弦 AC 切P 于点 A，CP及其延长线交P 于 D、E，过点 E 作 EFCE 交 CB 的延长线于 F。（1）求证：BC 是P 的切线；（2）若 CD2，CB 2，求 EF 的长；（3）若设 kPECE，是否存在实数 k，使PBD 是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 第 4题 图 O PFEDCBA参考答案：一、选择题：AACB二、填空
11、题：1、 62；2、3；3、 210；4、2；5、7；6、8 或 9三、计算或证明题：1、 （1）略；（2） ；（3） ；2、略解：由已知可得 )2(mBED， 32mBED又 2210 10)3()(m解得： 5，故 BE8，DE6由ADBDEB 可得：AD 25由ADCBED 可得：AC 73、提示：（1）连结 OD，证PCEPOD 得 PBADCPEO ；（2）证ODE15 0 得HDO EDC30 0，OD2 ，则 DH 3，DE 6，CE。CF CE EF 264、 （1）连结 PA、PB，证PBC90 0；（2）EF ；（3）存在 31k，使PBD为等边三角形。中考数学复习（48）
12、：正多边形和圆知识考点：1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。精典例题：【例 1】如图，两相交圆的公共弦 AB 为 32，在O 1 中为内接正三角形的一边，在O 2 中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径 3R与 6的平方比即可。解：设正三角形外接圆O 1 的半径为 3R，正六边形外接圆O 2 的半2O1例 1图
13、 BA径为 6R，由题意得： AB3， R6， 3 6R 3；O 1 的面积O 2 的面积13。【例 2】已知扇形的圆心角为 1500，弧长为 2，求扇形的面积。分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式， lRnS21360扇 形 ，由条件 n150 0， l看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。解：设扇形的半径为 R，则 180nl ， 150 0， 2l 18052 ， 24 lS扇 形 。【例 3】如图，已知 PA、PB 切O 于 A、B 两点，PO 4cm，APB60 0，求阴影部分的周长。分析：此题欲求阴影部分的周长
14、，须求 PA、PB 和的长，连结 OA、OB，根据切线长定理得 PAPB，PAO PBORt，APO BPO30 0，在 RtPAO 中可求出 PA 的长，根据四边形内角和定理可得AOB120 0，因此可求出AB的长，从而能求出阴影部分的周长。解：连结 OA、OBPA、PB 是O 的切线，A、B 为切点PAPB，PAOPBORtAPO 21 APB30 0在 Rt PAO 中， AP 3243cos0POA 21PO2，PBAPO 30 0，PAO PBORt AOB30 0， 341802ABl阴影部分的周长PAPB 34 )34(cm答：阴影部分的周长为 )4(cm。【例 4】如图，已知直
15、角扇形 AOB，半径 OA2cm ，以 OB 为直径在扇形内作半圆M，过 M 引 MPAO 交AB于 P，求与半圆弧及 MP 围成的阴影部分面积 阴S。例 3图 OPBA分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法” ，连结 OP。 POAMBQAOSSS扇扇扇阴 解：连结 OPAOOB，MPOA，MPOB又 OMBM1，OPOA2160 0，230 0PM 3OP而 1602RSPA扇 ， 2321PMOSPM设 PM 交半圆 M 于 Q，则直角扇形 BMQ 的面积为 412rSBQ扇 )(POAMBAOSSS扇扇扇阴 312412R 235探索与创新：
16、【问题】如图，大小两个同心圆的圆心为 O，现任作小圆的三条切线分别交于A、B 、 C 点，记 ABC 的面积为 S，以 A、B、C 为顶点的三个阴影部分的面积分别为 1S、2S、 3，试判断 S321是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。分析：这是一道开放性试题，所考查的结果是否为定值，我们首先应明白已知条件中有哪些定值。为此设大小圆半径分别为 R和 r（ 和 均为定值） ，小圆的每条切线与大圆所夹小弓形的面积相等且为定值，设这个定值为 P，如图有：PS321， S321， S321 )()( 又 2321321 R SSRS )(把代入得： 2321P（定值） 321为定值，这
17、个定值为 R。跟踪训练：一、选择题：例 4图 21OQM PBA32S1问 题 图 O CBA1、正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为（ ）A、 63 B、 43 C、 32 D、 32、如图，两同心圆间的圆环的面积为 16，过小圆上任一点 P 作大圆的弦 AB，则PB的值是（ ）A、16 B、 C、4 D、 43、如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，且A为半圆的 31，设扇形 AOC、COB、弓形 BmC 的面积分别为 1S、 2、 3，则下列结论正确的是（ ）A、 1S 2 3 B、 2S 1 3C、 1 D、 3 第 2题 图 OPBA3S21m第 3题 图
18、OCBA2O1第 4题 图 PBA4、如图，O 1 和O 2 外切于 P，它们的外公切线与两圆分别相切于点 A、B ，设O 1 的半径为 r，O 2 的半径为 r，的长为 1l，P的长为 2l，若 213r，则（ ）A、 13l B、 21l C、 1 D、 21l5、如图，A 是半径为 1 的 O 外一点，OA2，AB 切O 于 B，弦 BCOA，连结AC，则图中阴影部分的面积为（ ）A、 92 B、 6 C、 836 D、 834第 5题 图 COBA第 6题 图 COBA6、如图，在ABC 中，BAC30 0，AC a2，BC b，以直线 AB 为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的
19、表面积是（ ）A、 2a B、 ab C、 ab23 D、 )2(ba二、填空题：1、扇形的圆心角为 1500，扇形的面积为 40cm2，则扇形的弧长为 。2、一个圆锥形零件底面圆半径 r为 4 cm，母线 l长为 12 cm，则这个零件的展开图的圆心角 的度数是 。3、如图，正ABC 的中心 O 恰好为扇形 ODE 的圆心，要使扇形 ODE 绕 O 无论怎样旋转，ABC 与扇形重叠部分的面积总等于ABC 的面积的 31，则扇形的圆心角应为 。第 3题 图 DECOBA 第 4题 图 DCOBA第 5题 图 4、如图，A、B、C、D 是圆周上的四个点，BAC，且弦AB8，CD4，则图中两个弓形
20、（阴影）面积的和是 （结果保留三个有效数字） 。5、目前，全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外圆直径分别为 8 和 10，图中两两相交成的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是 122.5 平方单位，请你计算出每个小曲边四边形的面积为 平方单位（ 取 3.14）三、计算或证明题：1、如图，O 内切于ABC，切点分别为 D、E、F，若C90 0，AD 4，BD 6，求图中阴影部分的面积。 第 1题 图 EFABOCD2、如图，在 RtABC 中，C90 0，O 点在 AB 上，半圆 O 切 AC
21、 于 D，切 BC 于E，AO15cm ，BO 20cm ，求DE的长。第 2题 图 EA BOCD3、如图，有一个直径是 1 米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为 900 的扇形ABC，求：（1）被剪掉（阴影）部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？ 第 3题 图 AB O C4、如图，O 与 外切于 M，AB、CD 是它们的外公切线，A、B、C、D 为切点，EOA 于 E，且AOC 120 0。（1）求证： 的周长等于的弧长；（2）若 的半径为 1cm，求图中阴影部分的面积。 O第 4题 图 MDEABOC参考答案：一、选择题：DABCBD二、填空题：1、 20cm；2、120 0；3、120 0；4、15.4；5、2.35三、计算或证明题：1、 4；2、 6；3、 （1） 8平方米， （2） 8米；4、 （1）证明：由已知得AO O60 0，AB O 为直角梯形，设 O 与 的半径分别为 R、 r，则 cos600 rR，即 r3， 的周长为 r2，而AMC802 ， 的周长等于AMC的弧长。 （2） )6134(阴 影Scm2。2011 年中考数学总复习资料大全（精华版）
