不动点数学原理不动点法 已知数列 递推公式 ，na12.nknknkknaCaC则方程 称特征方程，方程的根称特征根。12.kkkxCx定理 若特征方程有 个相异根 ，则数列 通项公式为12,kxn2.n nn kaAAx由初值确定。12,.kA有重根的情况，这里略去了。不失一般性，我们取二阶常系数递推公式 为例来研究。12(3)nnapqa我们知道， 是 的函数，当 取 ， ， 时，对应的函数值满足递推关系na。我们不妨想想，哪种函数满足这个性质？答案是：指数函数。12napq令 ，其中 x 是待求的常数。代入递推公式，得n 12nnnxpqx即（看看这结果熟悉不？）2此方程有两个根 ，任一个都可以使 满足递推关系，即 ， 都12,xnax1nax2n是递推公式 的解。2nnapqa那么，可以证明（C1,C2 是常数）12nnnCx也是递推公式 的解。 （这个结论很好证，代入递推公式提取出常数12napqaC1,C2，就会发现其余的部分都是 0，是一个恒等式。 ）证明这个结论干嘛？我们知道，对于二阶递推，需要两个初值 ，它的通项公式才12,a能唯一确定。而 ， 这两个解均不能保证对任意给出的初值 都成立。1nax2n 12,而反观 ，代入 ，解方程组，可以确定唯一一对 C1,C2,这也nC12,a就保证了求出的通项公式对任意 均成立。nN对于更高阶的情形，同理可证。
