1、一.( 每小题 7 分,共 28 分)若函数 满足方程(,zxy22240,.zxyzx求设函数2cos()(),0,().ygdg求级数二重积分 其中 D 是由 所围成的区域.in,Dxy2,0,1yxx求解一阶常微分方程 2.dxy二.(10 分) 设曲线积分 与路径无关,其中函数 连续可导且()LIxdy ()x求函数 ;又设 L 为曲线 上从点 O(0,0)到 A(1,1)的弧段,求如上(0,()x209曲线积分 I.三.(10 分) 级数曲面积分 其中 S 为上半球面432()()4,SIxzdyxyzdxyd求上侧.24,zxy四.(10 分) 求解初值问题: 21,(0),().
2、xye五.( 每小题 5 分,共 10 分)讨论下列广义积分的敛散性. 31;1dx1703sin.xd六.(10 分) 求幂级数 的收敛半径和收敛域,并求其和函数.1()nnx七.(10 分) 将函数 在点 展开成幂级数 ,并求其和函数.)l3f 02x八.(6 分) 研究级数 的敛散性.1(lnn九.(6 分) 设 单调递减, 且级数 发散,求证:级数0,2,naa 1()na收敛.1nn一.(每小题 7 分,共 28 分) 设函数3cos()(),0,().yxgdygy求解 3 32cossin()1() 2yxygdxyy3 34cosssin()3yxy 3 342cscsosyx
3、y3 34 42 2cosscssyyy342coscs.yy计算二重积分 其中 D 是由 所围成的区域.in,Dxd 2,0,1xx解 210si sinxydyx10sind10(cos)dx 10coscoxx1100inis.x求解一阶常微分方程 2.dyx解 方程改写为 把 x 看作 y 的函数,是一阶线性方程.,xydy先解方程 分离变量,得 2x2,dxyln2lln,C2.xy即用常数变易法,令 则 代入,得2(),xCy2()()Cyd因此 于是原方程的通解为 2(),y1,yln,Cyln.x二.(10 分) 设曲线积分 与路径无关 ,其中函数 连续可导且2()LIxydx
4、dy ()x求函数 ;又设 L 为曲线 上从点 O(0,0)到 A(1,1)的弧段,求如上(0,()209曲线积分 I.解 因为积分与路径无关,故必有2,()PxyQx 2(),PQxyyx即得 由于 故(),2,C(0),0,C得 2.1222 2LLIxydyxydy1 222LL0.yd 2L1三.(10 分) 级数曲面积分 其中 S 为上半球面432()()4,SIxzdyxyzdxyd取上侧.24,zxy解 取 A: z=0 为辅助平面 , 由高斯公式,34,0.PQRxzyz432()(),SAIxdyzdxd 3(40)0.xzdV由 对 称 性故 4324Sxyzy 432()
5、(),Axzdydxd22 20sin16.Arr四.(10 分) 求解初值问题:,()2,().xye解 先解齐次方程 特征方程为 0210.重根 故通解为 12,12().xyCe对非齐次方程 可设特解为 代入,得 C=1yy对非齐次方程 因 1 是二重根 ,可设特解为.xye2,xyCeax yzO代入,得 于是,原方程的通解为211, .2xCye即 得 特 解 为21().xy由 0)2,.C得由 得 得2122()()xxyeCe12(0),yC21.故初值问题的解为 (1)1.xy五.(每小题 5 分,共 10 分)讨论下列广义积分的敛散性. 31;1dx 1703sin.xd解
6、 因 而无穷积分 收敛,由比较判别法的极限形式得,无323lim1,x x321dx穷积分 收敛.311d因 而瑕积分 发散,故瑕积分 发散73400sinsinlml1,xx1430dx1703sinxd六.(10 分) 求幂级数 的收敛半径和收敛域,并求其和函数 .1()nn解 故收敛半径 R=1.收敛区间为(-1,1)收敛域为-1,1 .1limli ,()()nnan记 则 于是1(),()nxfx11()()()nnxfxFx1()nx,于是1()nFxx0)ln()xFdtx , 故 0()l()(1)ln()xtdx 1()ln().f xx七.(10 分) 将函数 在点 展开成
7、幂级数,并求其收敛域.ln3fx02解 令 则所求的展开式为2,tx()ln3l(63)ln6l12tf t11 1)()l6l2n nnn nt x 收敛域为 ,04(0,.xx即 或八.(6 分) 研究级数 的敛散性.1()lnn解 显然 记 则lim0,ln()ln,fxx1()0(1),f x从而 递增 ,即 单调递减,由莱布尼兹判别法,级数 收敛.()f1ln1lnn但 而级数 发散,由比较判别法,级数 也发散,故级数1,ln1n1ln条件收敛.1()ln九.(6 分) 设 单调递减,且级数 发散,求证:级数0,12,nnaa 1()na收敛.1nn证 因 单调递减,故 而交错级数 发散,故必有0,12,nnaa lim0.na1()nna从而 于是,n1.n1,2,.na而级数 收敛,由比较判别法,级数 收敛.1nna1nna
