1、12004 年高考数学上海卷(理科) 一、填空题(本大题满分 48 分,每小题 4 分)1、若 tg= ,则 tg(+ )= .242、设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=1,则它的焦点坐标为 .3、设集合 A=5,log2(a+3),集合 B=a,b.若 AB=2,则 AB= .4、设等比数列a n(nN)的公比 q= ,且 (a1+a3+a5+a2n-1)= ,则 a1= .2nlim385、设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解.21、(本题满分 16 分) 第
2、 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分6 分如图,P-ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、 E、F 分别为棱长 PA、PB、PC上的点, 截面 DEF底面 ABC, 且棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体；(2) 若 PD= PA, 求二面角 D-BC-A 的21大小；(结果用反三角函数值表示)5(3) 设棱台 DEF-ABC 的体积为 V, 是否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台 DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在 ,请具体构造出这样
3、的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分 18 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分8 分设 P1(x1,y1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲 线 C 上的点, 且 a1=2, a2= 2, , an= 2 构成了一个公差为 d(d0) 的等差数列, 其中OOO 是坐标原点. 记 Sn=a1+a2+an.(1) 若 C 的方程为 =1,n=3. 点 P1(3,0) 及 S3=255, 求点 P3 的坐标；50yx(只需写出一个)(2)若 C 的方程为 (ab0). 点 P1(a,0),
4、 对于给定的自然数 n, 当12byax公差 d 变化时, 求 Sn 的最小 值；. (3)请选 定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点 P1, P2,Pn 存在的充要条件,并说明理由.6符号意义 本试卷所用符号 等同于实验教材符号向量坐标 =x,ya=(x,y)a正切 tg tan上海数学(理工类) 参考答案一、填空题(本大题满分 48 分,每小题 4 分)1、3 2、(5,0) 3、1,2,5 4、2 5、(2,0)(2,5 6、(5,4)7、 8、(x2) 2+(y+3)2=5 9、 10、a0 且 b0 5111、用代数的方法研究图形
5、的几何性质 12、二、选择题(本大题满分 16 分,每小题 4 分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分 86 分)17、【解】由题意得 z1= =2+3i,i5于是 = = , = .21za44)(2a1z370, 得(xa1)(x2a)2a, B=(2a,a+1).B A, 2a1 或 a+11, 即 a 或 a2, 而 a0),它的图 象与直线 y=x 的交点分别为xkA( , )B( , )k由 =8,得 k=8,. f2(x)= .故 f(x)=x2+ .ABx8x88(2) 【证 法一】f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , 8a即 =x 2+a2+
6、 .8a在同一坐标系内作出 f2(x)= 和xf3(x)= x 2+a2+的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a2+ )为顶点,开口向下的抛物线.8因此, f 2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解.又f 2(2)=4, f3(2)= 4+a 2+ a8当 a3 时,. f 3(2)f 2(2)= a2+ 80,当 a3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2,f(2)在 f2(x)图象的上方.f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点 ,即 f(x)=
7、f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ ,8a即(x a)(x+a )=0,得方程的一个解 x1=a.a方程 x+a =0 化为 ax2+a2x8=0,x8由 a3,=a4+32a0,得x2= , x3= ,aa234x20, x1 x2,且 x2 x3.9若 x1= x3,即 a= ,则 3a2= , a4=4a,a23434得 a=0 或 a= ,这与 a3 矛盾, x 1 x3.故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解.21、【证明】(1) 棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等,DE+EF
8、+FD=PD+OE+PF.又截面 DEF底面 ABC,DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60, P-ABC 是正四面体.【解】(2)取 BC 的中点 M,连拉 PM,DM.AM.BCPM,BCAM, BC平面 PAM,BCDM,则DMA 为二面角 D-BC-A 的平面角.由(1)知,P-ABC 的各棱长均为 1,PM=AM= ,由 D 是 PA 的中点,得23sinDMA= ,DMA=arcsin .AM3(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台 DEF-ABC 的棱长和为定值 6,体积为 V.设直平行六面体的棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 ,21则该六面体棱长和为 6
9、, 体积为 sin=V.8正四面体 P-ABC 的体 积是 ,0b0)上各点的最小距离12byax为 b,最大距离为 a.a1= 2=a2, d0nb)1(Sn=na2+ d 在 ,0)上递增,)(2nab故 Sn 的最小 值为 na2+ = .)1(2)(2ban【解法二】对每个自然数 k(2kn),x +y =a2+(k1)d2k由+ =12aby,解得 y =2k2)1(bad00.原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h ,+),且 =a2,a1O点 P1, P2,Pn 存在当且仅当 2 2,即 d0.nO1【解法二】若抛物线 C:y2=2x,点 P1(0,0),则对于给定的 n, 点 P1, P2,Pn 存在的充要条件是 d0.理由同上【解法三】若圆 C:(xa)+y 2=a2(a0), P1(0,0),则对于给定的 n, 点 P1, P2,Pn 存在的充要条件是 00 且 2=(n1)d4a 2.即 0d .1Pn 14na
