1、2016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，B=x|x10，那么 AUB=（ ）Ax|0x1 Bx|x 0 Cx|x2 Dx|1x22下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（ ）Ay=x 2 By=x+1 Cy= lg|x| Dy= 2x3若 a=log2.10.6，b=2.1 0.6， c=log0.50.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bbc a Cc ba Dbac4已知函数
2、 f（x）=ax 2x，若对任意 x1，x 22，+ ） ，且 x1x 2，不等式0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D5设 mR 且 m0， “不等式 m+ 4”成立的一个充分不必要条件是（ ）Am0 Bm1 Cm2 Dm26已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1（O 为圆心） ，且2 + + =0，| |=2| |，则 等于（ ）A B C D7已知函数 f（x）= 则函数 g（x）=f（f（x） ） 的零点个数是（ ）A4 B3 C2 D185 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白
3、球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9设平面向量 =（1，2） ， =（2，y） ，若 ，则 y= 10函数 f（x）=cos 2xsin2x 的单调递减区间为 11各项均为正数的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=2，S 4=5S2，则 a1 的值为 ，S 4 的值为 12已知角 A 为三角形的一个内角，且 ，则 tanA= ，tan（A + ）= 13已知函数 f（x）= 在（ ，+）上是具有单调性，则实数 m 的取值范围 1
4、4 九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢 ”其大意为：“ 现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 3000 里，良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里，驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇 ”试确定离开长安后的第 天，两马相逢三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知数列a n（nN
5、 *）是公差不为 0 的等差数列，a 1=1，且 ， ， 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）设数列 的前 n 项和为 Tn，求证：T n116已知函数 f（x）=asinx cosx（aR）的图象经过点（ ，0） （）求 f（x）的最小正周期；（）若 x ， ，求 f（x）的取值范围17如图，已知 A，B，C， D 四点共面，且 CD=1，BC=2，AB=4，ABC=120 ，cosBDC= （）求 sinDBC；（）求 AD18已知函数 f（x）= ax+cosx（aR ） ，x ， （）若函数 f（x）是偶函数，试求 a 的值；（）当 a0 时，求证：函数 f（x）在（0， ）上单
6、调递减19已知函数 f（x）=e x（x 2a） ，aR（）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）若函数 f（x）在（3，0）上单调递减，试求 a 的取值范围；（）若函数 f（x）的最小值为 2e，试求 a 的值20设 a，b 是正奇数，数列c n（nN *）定义如下：c 1=a，c 2=b，对任意 n3，c n 是cn1+cn2 的最大奇约数数列c n中的所有项构成集合 A（）若 a=9，b=15，写出集合 A；（）对 k1，令 dk=maxc2k，c 2k1（max p，q表示 p，q 中的较大值） ，求证：dk+1d k；（）证明集合 A 是有限集，
7、并写出集合 A 中的最小数2016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，B=x|x10，那么 AUB=（ ）Ax|0x1 Bx|x 0 Cx|x2 Dx|1x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集，确定出 A 与 B，找出 A 与 B 补集的交集即可【解答】解：由 A 中的不等式变形得： x（x2）0，解得：0x2，即 A=x|0x2，由 B 中的不等式解得：x1，即
8、 B=x|x1，全集 U=R， UB=x|x1，则 A（ UB）= x|0x1故选：A2下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+）上单调递减的是（ ）Ay=x 2 By=x+1 Cy= lg|x| Dy= 2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】选项 A：y=x 2 在（0，+）上单调递增，不符合条件；选项 B：代入特殊值 x=1，可知 f（1）f（1） ，且 f（1）f（1） ，故 y=x+1 是非奇非偶函数，不符合条件；选项 C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定 y=lg|x|是偶函数，x0 时，y=lg|x|=lgx 单调递减，故符合条件；选项 D：代入特
9、殊值 x=1，可知 f（1）f（1） ，且 f（ 1）f（1） ，故 y=x+1 是非奇非偶函数，不符合条件；【解答】解：选项 A：f（x）=x 2 的定义域为 R，又f（x）=（x） 2=x2，f（x）=f（x） ，即 f（x）是偶函数但 y=x2 在（0，+）上单调递增，故 A 不正确；选项 B：记 f（x）=x+1，则 f（1）=2，f（1）=0，f（1）f（1） ，且 f（ 1）f（1） ，y=x+1 是非奇非偶函数，故 B 不正确；选项 C：定义域为（ ，0） （0，+） ，记 f（x）=lg |x|，f（ x）=lg|x|= lg|x|， f（x）=f（x） ，即 f（x）是偶函数
10、当 x（0，+）时，y= lgxy=lgx 在（0，+ ）上单调递增，y= lgx 在（0，+）上单调递减故 C 正确；选项 D：记 f（x）=2 x，则 f（1）= ，f（1）=2，f（1）f（1） ，且 f（1） f（1） ，y=2 x 是非奇非偶函数，故 D 不正确故选：C3若 a=log2.10.6，b=2.1 0.6， c=log0.50.6，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bbc a Cc ba Dbac【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用中间量“0”， “1”判断三个数的大小即可【解答】解：a=log 2.10.60，b=2.1 0.61，0c=log 0.50.
11、61bca，故选：B4已知函数 f（x）=ax 2x，若对任意 x1，x 22，+ ） ，且 x1x 2，不等式0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【考点】函数单调性的判断与证明【分析】对 进行化简，转化为 a（x 1+x2）10 恒成立，再将不等式变形，得到 a ，从而将恒成立问题转变成求 的最大值，即可求出 a 的取值范围【解答】解：不妨设 x2x 12，= = =a（x 1+x2）1，对任意 x1，x 22，+） ，且 x1x 2， 0 恒成立，x 2x 12 时，a（x 1+x2） 10，即 a 恒成立x 2x 12a ，即 a 的取值范围为 ，+ ）故本题选 D5
12、设 mR 且 m0， “不等式 m+ 4”成立的一个充分不必要条件是（ ）Am0 Bm1 Cm2 Dm2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当 m0 时，不等式 m+ 4 不成立，当 m0 时，m+ 2 =4，当且仅当 m= ，即 m=2 时，取等号，A当 m=2 时，满足 m0，但不等式 m+ 4 不成立，不是充分条件，B当 m=2 时，满足 m1，但不等式 m+ 4 不成立，不是充分条件，C当 m2 时，不等式 m+ 4 成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件D当 m=2 时，满足 m2，但不等式
13、 m+ 4 不成立，不是充分条件，故选：C6已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1（O 为圆心） ，且2 + + =0，| |=2| |，则 等于（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得三角形是以角 A 为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案【解答】解：三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1（O 为圆心） ，2 + + =0，O 为 BC 的中点，故ABC 是直角三角形，A 为直角又| |=2| |，| |= ，| |=2，| |= ，cosC= = = ， = = 2 =故选：A7已知函数 f（x）= 则函数 g（x）=f（f
14、（x） ） 的零点个数是（ ）A4 B3 C2 D1【考点】函数零点的判定定理【分析】作出函数的图象，先求出 f（x）= 的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图：当 x0 时，由 f（x）= 得 x+1= ，即 x= 1= ，当 x0 时，由 f（x）= 得 log2x= ，即 x= = ，由 g（x）=f（f（x） ） =0 得 f（f（x） ）= ，则 f（x）= 或 f（x）= ，若 f（x）= ，此时方程 f（x）= 有两个交点，若 f（x）= ，此时方程 f（x）= 只有一个交点，则数 g（x）=f（f（x） ） 的零点个数是 3
15、个，故选：B85 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理【分析】5 个黑球和 4 个白球，5 为奇数，4 为偶数，分析即可得到答案【解答】解：5 为奇数，4 为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9设平面向量 =（1，2） ， =（2，y） ，若 ，则 y= 4 【考点】平行向量
16、与共线向量【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解： =（1，2） ， =（2，y） ， ，1y=2（2）y=4故答案为：410函数 f（x）=cos 2xsin2x 的单调递减区间为 【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象【分析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间【解答】解：对于函数 y=cos2xsin2x=cos2x，令 2k2x2k+，kZ ，求得：kxk+ ，kZ，可得函数的单调递减区间是： 故答案为： 11各项均为正数的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a3=2，S 4=5S2，则 a1 的值为 ，S 4
17、的值为 【考点】等比数列的前 n 项和【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1 和 q 的值，则 S4 的值可求【解答】解：若等比数列的公比等于 1，由 a3=2，则S4=4a3=42=8，5S 2=52S3=522=20，与题意不符设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a3=2，S 4=5S2，得： ，整理得 ，解得 ，q=2因为数列a n的各项均为正数，所以 q=2则 故答案为 ； 12已知角 A 为三角形的一个内角，且 ，则 tanA= ，tan（A + ）= 7 【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系【分析】利用同角三角函数的基
18、本关系求得 sinA 的值，可得 tanA 的值，再利用两角和的正切公式求得 tan（A+ ）的值【解答】解：已知角 A 为三角形的一个内角，且 ，则sinA= ，tanA= = tan（A+ ） = = =7，故答案为 ，713已知函数 f（x）= 在（ ，+）上是具有单调性，则实数 m 的取值范围 （1， 【考点】函数单调性的性质【分析】函数 f（x）在（，+）上是具有单调性，需要对 m 分类讨论，当m1，m1， m=1、0，1m0，0m1 分别判断分段函数的单调性【解答】解：令 h（x）=mx 2+1，x0；g（x）=（m 21）2 x，x0；当 m1 时，要使得 f（x ）在（，+）上
19、是具有单调性，即要满足 m211 m故：1m ；当 m1 时， h（x）在 x0 上递减，g（x）在 x0 上递增，所以，f（x）在 R 上不具有单调性，不符合题意；当 m=1 时，g（x）=0 ；当 m=0 时，h（x）=1；所以，f（x）在 R 上不具有单调性，不符合题意；当 1m0 时，h（x）在 x0 上递减，g（x）在 x0 上递减，对于任意的 x0，g（x）0；当 x0 时，h（x）0；所以，f（x）在 R 上不具有单调性，不符合题意；当 0m1 时，h（x）在 x0 上递增，g（x）在 x0 上递减；所以，f（x）在 R 上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1， 14 九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢 ”其大意为：“ 现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 3000 里，良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里，驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇 ”试确定离开长安后的第 20 天，两马相逢【考点】等差数列的前 n 项和
