1、福建省厦门外国语学校 吴育文供稿M 数学论文 第 1 页 共 4 页从 2008 年辽宁卷压轴题新解看灵活求导福建省厦门外国语学校 吴育文卷首评价:对于辽宁卷的高考 压轴题，在简单之中也并没有遗忘考查学生的能力，现在我就这题的非参考答案解法提出求导要具有灵活性！设函数 f(x)= lnx+ln(x +1).lnxx+1()求 f(x)的单调区间和极值;()是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f(x)a 的解集为(0,+)?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在试说明理由 .(2008 年辽宁卷 22 题) ( 压轴题)解析:题目立足点基础,需要学生有 较强的分析问题并解决问题的能力！(1
2、) f (x)= , 令 f(x)0 有 01 lnx(1+x)2所以 f(x)在(0,1) 上单调递增,在(1,+) 上单调递减所以 f(x)在 x=1 处唯一取到极大值 f(1)=ln2所以 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+),极大值为 ln2,无极小值.(2)当 00xln(x+1) lnx+ln(x+1)1+x当 x1 时,f(x )= + ln(x+1)lnx0lnxx+1当 x=1 时,f(1)=ln20所以,对于 x0,f(x)0 必成立(i)a0 时, f( x)a 对(0,+ +) 时恒成立;(ii)a0 时,要使 f(x)a 对(0,+ +)恒成立
3、,则 ln(1+ )a1x lnxx+1构造函数 g(x)= ln(1+ )(x0),显然 g(x)01xg(x)= 0),从而 t(x)=lnxx+1 lnxx+1 lnxx+1 x(1 lnx)+1x(1+x)2当 00 矛盾,福建省厦门外国语学校 吴育文供稿M 数学论文 第 2 页 共 4 页所以 a0 时并无满足条件的 a 存在所以综上有 a0.评价:本题第二步的难点是说明 a0 时并没有符合条件的 a 存在.那么怎么推呢就是重点.本解法是应用求导判断最值的方法结合不等式推倒出来的.但是在求导中,对于高中同学来说的确是会遇到困难,t(x )= (x0)的单调性不能完全判断,所以我们可以
4、取巧,只去部lnxx+1分看,那就是(0,e)是可以判断出来的 ,借助于判断出来的部分函数的单调性来求解不失为一种省力的方法.所以从上面的解法我们可以得到信息,要灵活地求导!，下面在看一到例子:(自编题) 已知函数 f(x)= (e 为自然对数的底数).1 x21+x+x2(1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)若(e a+2)x2+ eax+ea20 对|x |1 恒成立,求 a 的取值范围;(3)求证: 对于正数 a、b、,恒有 f( )2f( )( )2 .a+b1+ a2+b21+ a+b1+ a2+b21+(本题仍然需要贯彻灵活求导的思想,希望读者在自己写一遍,去亲身感受一下!)这
5、种灵活应对求导的思想不单单应用在函数与导数的综合题里,今年的高考题中也可一看到很多，比如 2008 年福建省高考理科 21 题的解析几何题,同样是运用了上面提到的灵活的思想,下面把题目引上,希望读者细心钻研！体误！相信提高并不是难事!(2008 年福建高考题)如图,椭圆 + =1(ab0)的一个焦点 F(1,0).O 为坐标原点.x2a2y2b2(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,若直线 l 绕点 F 任意转动恒|OA|2+|OB|20 时 g(x)单调递减.再运用比较法判断( )2a+b1+ a2+b21+所以由单调性有 f( )2f( )( )2 .a+b1+ a2+b21+ a+b1+ a2+b21+2. (2008 年福建高考 题) (1) + =1x24 y23(2)先判断出 0知道当(a+a 21)(aa 2+1)5+12所以,综上有 a 的取值范围是( ,+)5+12
