1、1分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测：15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种 32解析 每位同学有两种不同的报名方法，而且只有 这 5 位同学全部 报名结束，才算事件完成所以共有 2222232(种 )2有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的 3 件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是_ 12解析 由分步乘法计数原理，一条 长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步 选上衣有 4 种选法，第二步选长裤有 3 种选法，所以有 4312(种)选法3甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同
2、的选法有_种答案 24解析 分步完成首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种) 4用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)答案 14解析 数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现 1 次， “3”出现 3 次，共可组成 C 4(个)四位数14“2”出现 2 次， “3”出现 2 次，共可组成 C 6(个)四位数24“2”出现 3
3、 次， “3”出现 1 次，共可组成 C 4(个)四位数34综上所述，共可组成 14 个这样 的四位数.题型一 分类加法计数原理的应用例 1 一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪 用分类加法计数原理解 (1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共
4、有 60 种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法，根据分类加法计数原理，任选 一名学生任校学生会主席共有 506055165(种)选法(2)完成这件事有三类方法2第一类，从高三一班男生中任 选一名共有 30 种选法；第二类，从高三二班男生中任 选一名共有 30 种选法；第三类，从高三三班女生中任 选一名共有 20 种选法综上知，共有 30302080(种)选法思维升华 分类时，首先要根据 问题的特点确定一个适合它的分 类标准，然后在 这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成 这件事情的任何一种方法必 须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方
5、法，只有满 足这些条件，才可以用分 类加法计数原理(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？(2)方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，那么这样x2m y2n的椭圆有多少个？解 (1)分析个位数字，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是 1,2,3，8 中的一个，故有 8 个；个位是 8，则十位可以是 1,2,3，7 中的一个，故有 7 个；同理，个位是 7 的有 6 个；个位是 6 的有 5 个；个位是 2 的只有 1 个由分类加法计数原理，满足条件的两位数有1234567836(个) (2)以 m 的值为标 准分
6、类，分 为 五类第一类：m1 时，使 nm，n 有 6 种选择；第二类：m2 时，使 nm，n 有 5 种选择；第三类：m3 时，使 nm，n 有 4 种选择；第四类：m4 时，使 nm，n 有 3 种选择；第五类：m5 时，使 nm，n 有 2 种选择共有 6543220(种 )方法，即有 20 个符合题意的椭圆题型二 分步乘法计数原理的应用例 2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限3思维启迪 可以根据报名过程
7、，使用分步乘法 计数原理解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法 36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个 项目有 5 种选法，第三个项目只有 4 种选法，由分步乘法 计数原理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63216(种)思维升华 利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步
8、骤都完成了才算完成这件事已知集合 M3，2，1,0,1,2，若 a，b，cM，则：(1)yax 2bxc 可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax 2bxc 可以表示多少个图象开口向上的二次函数解 (1)a 的取值有 5 种情况，b 的取值有 6 种情况，c 的取值有 6 种情况，因此 yax 2bxc 可以表示 566180(个)不同的二次函数(2)yax 2bxc 的图象开口向上时，a 的取值有 2 种情况，b、c 的取值均有 6 种情况，因此yax 2bxc 可以表示 26672(个) 图象开口向上的二次函数题型三 两个原理的综合应用例 3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜
9、色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数思维启迪 染色问题是常见的计数应用问题，可从 选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱 锥一侧面三顶 点染色，然后再分 类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出 结论由 题设，四棱锥 SABCD 的顶点 S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有 54360(种)染色方法当 S、A、B 染好时，不妨设其 颜色分别为 1、2、3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染
10、 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当S、A、B 已染好时，C、D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 607420(种)方法二 以 S、A、B、C、D 顺序分步染色第一步，S 点染色，有 5 种方法；4第二步，A 点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法；第三步，B 点染色，与 S、A 分 别在同一条棱上，有 3 种方法；第四步，C 点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻，需要针对 A 与 C 是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时，D 点有 3 种染色方法；当 A 与 C 不同色时，因为 C 与 S、B 也不同色，所以 C 点有 2 种染色方
11、法，D 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分 类加法计数原理得不同的染色方法共有 543(132 2)420(种) 方法三 按所用颜色种数分类第一类，5 种颜色全用，共有 A 种不同的方法；5第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与 D)，共有 2A 种不同的方法；45第三类，只用 3 种颜色，则 A 与 C、B 与 D 必定同色，共有 A 种不同的方法35由分类加法计数原理，得不同的染色方法 总数为A 2A A 420(种) 5 45 35思维升华 用两个计数原理解决计数问题时，关 键是明确需要分 类还是分步(1)分类要做到“不重不漏” ，分类后再分别对每一类进
12、行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整” ，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总 数(3)对于复杂问题，可同 时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解 如图所示，将 4 个小方格依次 编号为 1,2,3,4，第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法当第 2 个、第 3 个小方格涂不同 颜色时，有 A 12(种)不同的涂法，
13、第24 4 个小方格有 3 种不同的涂法由分步乘法 计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第 2 个、第 3 个小方格涂相同 颜色时，有 4 种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步乘法 计数原理可知有 54480( 种)不同的涂法由分类加法计数原理可得，共有 18080260(种)不同的涂法A 组 专项基础训练一、选择题1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( )A3 B4 C6 D8解析 按从小到大顺序有 124,139,248,469 共 4 个，同理按从大到小顺序也有 4 个，故
14、 这样的等比5数列的个数为 8 个2. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的 两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( )A24 种 B30 种 C36 种 D48 种解析 共有 432248(种) ，故 选 D.3集合 P x,1，Qy,1,2 ，其中 x，y1,2,3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y) 作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 ( )A9 B14 C15 D21解析 当 x2 时，xy，点的个数为 177( 个)；当 x2 时， xy ，点的个数 为 717( 个)，则共有 14 个点，故选 B.4(2013山东)用
15、0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D279解析 0,1,2，9 共能组成 91010900(个) 三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)有重复数字的三位数有 900648252(个) 5(2013四川)从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是 ( )A9 B10 C18 D20解析 由于 lg alg blg (a0，b0)，从 1,3,5,7,9 中任取两个作为 有 A 20 种，又 与 相同，ab ab 25 13 39与 相同，lg alg
16、b 的不同值的个数有 A 220218，选 C.31 93 25二、填空题6一个乒乓球队里有男队员 5 名，女队员 4 名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有_种不同的选法答案 20解析 先选男队员，有 5 种选 法，再 选女队员有 4 种选法，由分步乘法计数原理知共有5420(种) 不同的选法7某次活动中，有 30 人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人进行礼仪表演，要求这 3 人中的任意 2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_( 用数字作答) 答案 7 200解析 其中最先选出的一个人有 30 种方法，此 时不能再从 这个人所在的行和列上选人， 还剩一个 5 行 4 列的队
17、形，故选第二个人有 20 种方法，此 时不能再从 该人所在的行和列上选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，此时第三个人的 选法有 12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.8已知集合 M1，2,3，N4,5,6，7 ，从 M，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数6是_答案 6解析 分两类：第一类，第一象限内的点，有 224(个)；第二类，第二象限内的点，有 122(个)共 426(个)三、解答题9某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选
18、出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解 由题意得有 1 人既会英语又会日语，6 人只会英语， 2 人只会日语第一类：从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，共有 6 种方法，则说日语的有 213( 种)，此时共有 6318(种)；第二类：不从只会英语的 6 人中选 1 人说英语，则只有 1 种方法，则选会日语的有 2 种，此时共有 122(种)；所以根据分类加法计数原理知共有 18220(种) 选法10在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复) 表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数
19、为多少？解 方法一 分 0 个相同、1 个相同、 2 个相同讨论(1)若 0 个相同，则信息为 1001.共 1 个(2)若 1 个相同，则信息为 0001,1101,1011,1000.共 4 个(3)若 2 个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息 为 0101；若位置一与三相同，则信息 为 0011；若位置一与四相同，则信息 为 0000；若位置二与三相同，则信息 为 1111；若位置二与四相同，则信息 为 1100；若位置三与四相同，则信息 为 1010.共 6 个故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 14611.方法二 若 0 个相同，共有 1 个；
20、若 1 个相同，共有 C 4(个)；14若 2 个相同，共有 C 6(个)24故共有 14611(个)复习与回顾一、 立体几何：1.(2013广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )7A.4 B. C. D.6143 163解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V (22 1311 )2 .22111432.(2013课标全国)已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l，l，则 ( )A. 且 lB. 且 lC. 与 相交，且交线垂直于 lD. 与 相交，且交线平行于 l解析 假设 ，由 m平面 ，n平面 ，则 mn， 这与已知
21、 m，n 为异面直线矛盾，那么 与相交，设交线为 l1，则 l1m ，l1n，在直 线 m 上任取一点作 n1 平行于 n，那么 l1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面，所以 l1l .83、如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC2 ，PA2，E 是 PC 上的一点，PE22EC.(1)证明：PC平面 BED；(2)设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.思维启迪 利用 PA平面 ABCD 建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一 (1)证明 因为底面 ABCD 为菱形，所以 BDAC.又 PA底面 ABCD
22、，所以 PCBD.如图，设 ACBDF，连接 EF.因为 AC2 ，PA2，PE2EC ，2故 PC2 ，EC ，FC ，3233 2从而 ， .PCFC 6ACEC 6因为 ，FCEPCA，PCFC ACEC所以FCEPCA，FECPAC90.由此知 PCEF.因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以 PC平面 BED.(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AGPB， G 为垂足.因为二面角 APB C 为 90，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB平面 PBCPB，故 AG平面 PBC，AGBC.因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直 线 PA，A
23、G 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以底面 ABCD 为正方形，AD2，PD 2 .PA2 AD2 2设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 ADBC，且 AD平面 PBC，BC平面 PBC，故 AD平面 PBC，A、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 dAG .29设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin .dPD 12所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.方法二 (1)证明 以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 C(2 ，0,0)，P(0,0,2)，E ，2 (423，0，23)设 D( ，
24、b,0)，其中 b0，2则 B( ， b,0).2于是 (2 ，0，2)， ，PC 2 BE ( 23，b，23) ，DE ( 23， b，23)从而 0 ， 0，故 PCBE ，PCDE .PC BE PC DE 又 BEDE E，所以 PC平面 BED.(2)解 (0,0,2) ， ( ，b,0).AP AB 2设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量， 则m 0，m 0，即 2z0 且 xby0，AP AB 2令 xb，则 m( b， ，0).2设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则n 0，n 0，PC BE 即 2 p2r 0 且 bq r0，22p3 23令 p1，则
25、r ，q ，n .22b (1， 2b，2)因为二面角 APB C 为 90，所以面 PAB面 PBC，故 mn 0，即 b 0，故 b ，2b 2于是 n(1 ，1， )， ( ， ，2)，2 DP 2 2所以 cosn， ，DP nDP |n|DP | 1210所以n， 60.DP 因为 PD 与平面 PBC 所成角和n， 互余，DP 故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.二、圆锥曲线：1双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，离心率为 3，则该双曲线的标准方程为_，渐近线方程为_答案 1 y2 xx24 y232 2解析 由题意设双曲线的标准方程 为 1(a0，b0) ，则 2a4
26、，即 a2，e 3，则x2a2 y2b2 cac6，b4 ，所以双曲 线的标准方程为 1，渐近线方程为 y x2 x.2x24 y232 ba 22、若点(3,1)是抛物线 y22px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p_.答案 2解析 设弦两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Error!，两式相减得， 2.y1 y2x1 x2 2py1 y2又y 1y 22，p2.3、已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F 2，过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两点，若PF1F2 为直角三角形，则椭圆 E 的离心率为 ( )A. B. C. D.53
27、23 23 13解析 由题意可知，F 1PF2 是直角，且 tanPF 1F22，|PF2|PF1|2，又|PF 1| |PF2|2a，|PF 1| ，|PF2| .2a3 4a3根据勾股定理得 2 2(2c) 2，(2a3) (4a3)所以离心率 e .ca 534、已知双曲线 1 (a0，b0)与抛物线 y28x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为x2a2 y2b2P，若| PF|5，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y x B.y x C.y x D.y x333 2 22解析 设点 P(x0，y0).依题意得，焦点 F(2,0)，11Error!于是有 x03，y 24；20E
28、rror!由此解得 a21，b 23，因此该双曲线的渐近线方程是 y x x.ba 35、.已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是_.答案 2 3解析 由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小 值.设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则| AB|2r4，r2，且 圆心到 x 轴的距离是 r1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 2 2 ，即弦长的最r2 r 12 2r 1 3小值是 2 .36、在平面直角坐标系 xOy 中，动
29、点 P 到两点( ，0) ，( ，0)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹3 3为曲线 C，直线 l 过点 E(1,0) 且与曲线 C 交于 A，B 两点(1)求曲线 C 的轨迹方程；(2)是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积；若不存在，说明理由解 (1)由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以( ，0)，( ，0)为焦点，3 3长半轴长为 2 的椭圆，故曲线 C 的方程为 y 21.x24(2)存在AOB 面积的最大值因为直线 l 过点 E(1,0) ，可设直线 l 的方程为 xmy1 或 y0( 舍)，则Error!整理得(m 24)y 22my30.由 (2m) 212(m 24)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)解得 y1 ，y2 .m 2m2 3m2 4 m 2m2 3m2 4则|y 2y 1| .4m2 3m2 4因为 SAOB |OE|y1y 2| .12 2m2 3m2 4 2m2 3 1m2 3设 g(t)t ，t ，t .1t m2 3 3则 g(t)在区间 ，) 上为增函数所以 g(t) .343312所以 SAOB ，当且仅当 m0 时取等号，32即(S AOB )max .32所以存在AOB 面积的最大值， SAOB 的最大值为 .32
