1、1第一章 波动方程 1 方程的导出。定解条件2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在 两点则相应的边界条件为lx,0.),(),0(tlut(2)若 为自由端，则杆在 的张力 | 等于零，因此相lxlxxuEtlT)(,l应的边界条件为 | =0 lx同理，若 为自由端，则相应的边界条件为 0x0(3)若 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置l的偏移由函数 给出，则在 端支承的伸长为 。由虎克定律有)(tvlx)(,tvluuE)(,tlklx其中 为支承的刚度
2、系数。由此得边界条件k 其中)()(tflxEk特别地，若支承固定于一定点上，则 得边界条件,0v 。)(uxlx同理，若 端固定在弹性支承上，则得边界条件0xE)(,0tvkx即 )(u.f3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 22)1()1(tuhxuhxE其中 为圆锥的高(如图 1)h证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则点处截面的半径 为：lhx1所以截面积 。利用第 1 题，得2)()xs2)1()1( 22xuhExtuhx若 为常量，则得Ex)( 22)1()1(tuhxuhx2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程 常 数011222 htuxaxuhx的通解可以写成xtG
3、atFu其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: .,:0tut解：令 则vuxhxvuhxhxv2, )()()()()( 222uuxhx又 2tv代入原方程，得 221tvxhaxvh即 22t由波动方程通解表达式得 atxGtFtxv,所以 hau3为原方程的通解。由初始条件得 )1(1xGFxha/所以 )2(10 cdhxx由 两式解出)2(,122121cdhaxhxFxocxxGxo所以 )()()()()21),( atxthatthtu + atx()(.d即为初值问题的解散。问初始条件 与 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右)(x传播波
4、组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中 F，G 由初始条件 与 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(x于任何 有 G(x+at) 常数.tx,即对任何 x, G(x) C 0又 G（x）= xaCda02)(21)(所以 应满足)(,（常数）xx01)(或 (x)+ =01a43.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).(022xuatatx)0(解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）)(令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)x所以 F(x)= -G(0).)2(G（x）= -
5、F(0).且 F（0）+G(0)= ).0(所以 u(x,t)= + -()2attx.即为古尔沙问题的解。6利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题 0, 0,02tuxxatt 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：。atxtdtxattx 2121,由题意知 仅在 上给出，为利用达朗贝尔解，必须将 开,0 x,拓到 上，为此利用边值条件，得0x。attdat21因此对任何 必须有ttt0attd即 必须接奇函数开拓到 上，记开拓后的函数为 ；x, xx,50,0, xxxx 所以 atxtdtattxu 2121,。 0,2121 ,xatdaxtatx tttt
6、xtatx8求解波动方程的初值问题xtuttt sin|,02解：由非齐次方程初值问题解的公式得ddtxutxttxt0)()(si21sin21),(= t dtxtxxtx0 )(cos)(cos)cos()cs(21 =tdt0)in(ini= ttxt 0)si(cosisi =t即 为所求的解。xtuin),(3 混合问题的分离变量法1. 用分离变量法求下列问题的解：(1) 1443 sini)(sinco),( nnxltlaalxltlatxu (2) 022 2sicos)(18),(n ltlht65用分离变量法求下面问题的解0|022lxxttubshxua解：边界条件是齐
7、次的，相应的固有函数为),21(sin)(xlxXn设 1i),nltTtu将非次项 按 展开级数，得bshxixl1sin)(nxltf其中 shlbnldlhlbtf 2)1(i2)( 20将 代入原定解问题，得 满足1sin)(),(nxltTtxu )(tTn 0)(,)0( 2)1(2nn nshlbtlat 方程的通解为 shllnbaltlnBtlaAtT nn 122)()(sicos)( 由 ，得：0n shlbn 122)(由 ，得)(所以 )cos1()()1(22 tlanllnatTnn 所求解为1212 si)()(),(nn xltllshlbtxu74 高维波动
8、方程的柯西问题2 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。解：三维波动方程的柯西问题),(),(002 zyxuzyxuatt zt 当 u 不依赖于 x,y,即 u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：)(),(002zztt利用泊松公式求解SatMSatMdsrdsrtu4141因只与 z 有关，故SatMdttzdsr 202sin)(cos( dattzdsin)co(20令 ,= atcos+z tin-得 SatMaztddr)(2所以 atzt atztddtzu)(21)(21),( atzttzatz)()()(即为达郎贝尔公式。5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性1 设受
9、摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程txtcuau28证明其能量是减少的，并由此证明方程 fcuautxt2的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。证： 首先证明能量是减少。1能量 lxtduatE02)()l xttdt )( |200 dxuadulttxtl ltxxtl 20 |)(因弦的两端固定， 所以,|,|lxxu0|0ltt于是 dxuadtEtl)(2)(20(xclt )0c因此，随着 的增加， 是减少的。t)(tE5） 。证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程（1） 和rln证： 。为 调 和 函 数题 知由 第令 uu,1,故则 显 然令 ,0,0
10、, 22vrvv122u第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结1 化下列方程为标准形式9（1） 0254yxyxuu（2） 2（3） 0yx（4） 0)sin3(cos2yyx uxu（5） 1)(2xy解：（1） 254yxy因 ，方程为椭圆型。0特征方程为 0542dxy解之得 21,)2(, cixycxiyi 因此引变换 x有 u2 2222222 4)( uuxu)1y222(uuyx 22 )1)代入化简即得： 022u0)( 2yxu因 ,方程为抛物型.2x特征方程为 )(22dx10解之得 cxydx,因此引变换 有 uxyu)(223242 )()( uxyxyuxu1uxx
11、yuyx22322 1)(代入化简即得 )0(3) 0yxu因 0y当 y0 为椭圆形 .特征方程为 ,0)(2ydx解之得 1, ciciydx因此引变换 2有 ux2ux1y)2(312yuu代入化简得 0(4) 0)sin3(cos22yxyx uxu因 为双曲型.特征方程为4)i()( 22ddy解之得 cosx2121sinincxyyc因此引变换 xi有 )cos()cos(xuux uxuxxu sinsi242)cos2( 2y1222uuy 22)cos()cos()cos( uxxxx代入化简得 0)(32uu(5) 01)1( yxyx因 为椭圆形。特征方程为)(0)(2xdy即 1yi解之得 122)ln()ln( cxi因此引变换 )1l(2yx有 uxux)1(12322)(yuyuy)1(12322代入化简得 02u.
