1、2018 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由复数的运算法则有： ，则实部和虚部之积为 .本题选择 B 选项.2. 设集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】求解指数不等式可得： ，据此有： .观察选项，只有 C 选项符合题意 .本题选择 C 选项.3. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则
2、【答案】D【解析】逆否命题同时否定条件和结论，然后将条件和结论互换位置，据此可得：命题“若 ，则 ”的逆否命题是若 ，则 .本题选择 D 选项.4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的实数 的值为（ ）A. -3 B. -3 或 9 C. 3 或 -9 D. -9 或-3【答案】B【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数： 的函数值，且函数值为 ，据此分类讨论：当 时， ；当 时， ；综上可得，输入的实数 的值为 或 .本题选择 B 选项.5. 刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率 ，理
3、论上能把 的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设圆的半径为 ，则圆的内接正六边形可以分解为 6 个全等的三角形，且每个三角形的边长为 ，据此可得，圆的面积为 ，其内接正六边形的面积为 ，利用几何概型计算公式可得：此点取自该圆内接正六边形的概率是 .本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解
4、几何概型即可.6. 如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】结合三视图可知该几何体是圆锥的一半，且圆锥底面半径 ，圆锥的高 ，据此可知该几何体的体积： .本题选择 A 选项.7. 设 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. -15 B. -9 C. 1 D. 9【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，观察可得目标函数在点 处取得最大值： .本题选择 C 选项.点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y
5、 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.8. 若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.A. 4 B. 8 C. 12 D. 24【答案】B【解析】由不对号入座的结论可知，三个人排队，对对号入座的方法共有 2 种，据此结合乘法原理可知，满足题意的站法共有： 种.本题选择 B 选项.9. 函数 在 的单调递增区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】整理函数的解析式有：若 ，则 ，据此可知函数的单调递增区间满足： ，即 ，则函数的单调递增区间
6、是 .本题选择 C 选项.10. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为： ，即： ，由直线与圆的位置关系可得： ，整理可得： ，则： ，据此有： .本题选择 B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程( 不等式)，解方程(不
7、等式) 即可得 e(e 的取值范围)11. 在各项都为正数的等比数列 中，若 ，且 ，则数列 的前 项和是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由等比数列的性质可得： ，则数列的公比： ，数列的通项公式： ，故： ，则数列 的前 项和是：.本题选择 A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的12. 设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，若在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且只有 4 个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答
8、案】D【解析】由已知 在 上递减， 是偶函数，则 在 上递增，又 ，即 的图象关于直线 对称，因此 在 上递减，在 上递增（实际上 是周期为 4 的周期函数） ，方程 在区间 内有 4 个根，即函数 与函数 的图象有 4 个交点，如图，所以 且 ，解得 ，故选 D点睛：（1）本题考查函数零点与方程根的关系问题，解题方法把方程的根转化为函数图象交点，如本题中方程 在 上有 4 个根，转化为函数 与函数 的图象在 上有 4个交点，为此先作出函数 的图象，根据已知得出 是周期为 4 的周期函数，再根据偶函数的性质可以作出 的图象；（2）如 满足 ，则 是其对称轴；（3）如果 的图象有两个对称轴 和
9、，则它是周期函数， 是它的一个周期.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.13. 已知随机变量 ，若 ，则 _【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线 对称，则：，则： .14. 在推导等差数列前 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得_【答案】44.5【解析】令 ，则： ，两式相加可得： ,故： ，即 .15. 已知正三角形 （ 为坐标原点）的顶点 在抛物线 上，则 的边长是_【答案】【解析】设点 A 位于第一象限，由抛物线图形的对称性可知，直线 的方程为： ，联立直线方程与抛物线方程可得交点坐标为： ，则
10、，结合两点之间距离公式可得： ,即 的边长是 .16. 已知 是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 为直角顶点， 为平面 内一点， 则的最小值是_【答案】-1【解析】以 A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，则 ， ，利用向量的坐标运算法则有：，据此可知，当 ，即点 坐标为 时， 取得最小值是 .点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22/23
11、题为选考题，考生根据要求作答.17. 在 中，已知内角 对边分别是 ，且 .（）求 ；（）若 ， 的面积为 ，求.【答案】 （） （）【解析】试题分析：()由题意利用正弦定理边化角可得 ，结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得，结合三角形的性质可得()由题意结合面积公式可得 ，然后利用角 C 的余弦定理得到关于 c 的等式，整理计算可得 .试题解析：（）由正弦定理得又又 （）由面积公式可得18. 如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是正方形，且 ， .（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值.【答案】 （）见解析（） .【解析】试题分析：()利用面面垂直的性质定理可得 平面 .据此
12、有 ，结合 可得 平面 .最后利用面面垂直的判定定理可得平面 平面 .()取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，以 的方向分别为 轴， 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，据此计算可得二面角 的余弦值为 .法 2：若以 为原点，建立空间直角坐标，则面 的法向量 面 的法向量 ，计算可得 为钝角，则余弦值为 .试题解析：（）证明：底面 为正方形， .又平面 平面 ， 平面 .又 平面 ， . ， ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .（）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接易得 底面 ，以 为原点，以 的方向分别为 轴， 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为 2，可得 ， ， ，设平面 的一个法向量为而 ，即取 得设平面 的一个法向量为而 ，则 即 取 得由图知所求二面角为钝角故二面角 的余弦值为 .法 2：若以 为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为 2可得面 的法向量面 的法向量由图可得 为钝角余弦值为 .
