1、2018 届湖南省邵阳市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,故 ,故选 A.2. 已知复数满足： ，且的实部为 2，则 （ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】 ,即 ,故.故选 B.3. 设函数 ，则函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 的定义域为 ,故 ,所以选 B.4. 在某次高中数学竞赛中，随机抽取 90 名考生，其分数如图所示，若所得分数的平
2、均数，众数，中位数分别为， ， ，则， ，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】经计算得平均值 ,众数为 ,中位数为 ,故 ,选 .5. 设点 是双曲线 上一点， ， ， ， ，则 （ ）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由于 ,所以 ,故 ,由于 ,解得 ,故选 C.6. 执行下边的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 ,判断是, ,判断是, ,判断否,输出 ,故选 B.7. 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以
3、爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列） ，问各得多少鹿？”已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ）A. 1 只 B. 只 C. 只 D. 2 只【答案】C【解析】依题意设 ,即 ,解得 .故选 C.8. 已知函数 的部分图象如图所示， ，则下列判断正确的是（ ）A. 函数 的最小正周期为 4B. 函数 的图象关于直线 对称C. 函数 的图象关于点 对称D. 函数 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】 ,故 ,由图象可知.故
4、由于 故最小正周期不为 ,排除 A选项.将 代入验证可知 B 选项错误.将点 代入验证可知 C 选项正确.故选 C.9. 若关于 的不等式 的解集包含区间 ，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】原不等式等价于 ,由于函数 在区间 上为增函数,当 ,故 .故选 D.10. 某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 54 B. 45 C. 27 D. 81【答案】B【解析】画出直观图如下图所示,由图可知,几何体为三棱柱和四棱锥组合而成,故体积为,故选 B.【点睛】本小题主要考查三视图,考查由三视图还原为原图并求原图的体积. 三视图中的数据与
5、原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 11. 若抛物线 ： 上一点 到焦点 的距离为 5，以 为圆心且过点 的圆与 轴交于 ， 两点，则（ ）A. 4 B. 6 C. D. 8【答案】B【解析】由于 到焦点的距离为 ,故到准线 的距离也是 ,故 ,代入抛物线得 ,解得 ,不妨设 ,故圆心为 ,半径为 ,圆的方程为 ,令 ,解得 ,故 .故选 B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查抛物线的几何图形中,考查圆的方程的求法与圆的弦长公式的知识.
6、在抛物线有关的性质中,最重要的就是抛物线的定义,即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,这个往往是解题的关键所在,在有关抛物线的问题中,可以首先考虑这一个性质.12. 在四面体 中， 底面 ， ， ， 为棱 的中点，点 在 上且满足，若四面体 的外接球的表面积为 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】 ，设 的外心为 O，则 在 上，设 ，则即 ，解得四面体 的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一
7、定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算 第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 在矩形 中， ， ，则 _【答案】10【解析】 , .14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】-3【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最小值为 .【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组线性规划的知识. 画二元一次不等式 或表示的平面区域的基本步骤：画出直线 （有等号画实线，无等号画虚线） ；当 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当 时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域.15.
8、设数列 是等比数列，且 ， ，则数列 的前 15 项和为_【答案】【解析】等比数列首项为 ,第二项为 ,故是首项为 ,公比为 的等比数列.所以,所以 ,其前 项和为 , 时,为 .【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前 项和.题目给定一个数列为等比数列,并且给出 和 ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项 ,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到 ,利用裂项求和法求得数列的前 项和.16. 若函数 恰有 2 个零点，则的取值范围为_【答案】【解析】原问题等价于函数 与函数 恰有 个零点，当 时， ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且：
9、；当 时，分类讨论：若 ，则 ，若 ，则 ，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得的取值范围为 .点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且 .（1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求 .【答案】 （1） （2）
10、【解析】试题分析：由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，又因为 ，求出 ，结合 的范围可求 的值利用三角形内角和定理可求 ，利用三角形面积公式求，在 中，利用余弦定理可求 ，在 中，利用正弦定理可求解析：（1）由 ，得 ，由正弦定理可得，因为 ，所以 ，因为 ，所以 .（2）因为 ，故 为等腰三角形，且顶角 ， 故 ， 所以 ，在 中，由余弦定理可得， ，所以 ，在 中，由正弦定理可得， ，即 ，所以 .18. 从 2017 年 1 月 18 日开始，支付宝用户可以通过“ 扫福字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福） ，除夕夜
11、22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了 80 位该校在读大学生，就除夕夜 22:18 之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福） ，得到具体数据如下表：是 否 合计男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？（2）计算这 80 位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福的人数；（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的
12、学生中，选取 2 位男生和 3 位女生逐个进行采访，最后再随机选取 3 次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的 3 次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式： .附表：0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）不能（2）8125（3）【解析】 【试题分析】(1)利用 点的公式计算得 ,故不能 .(2) 人的概率为 ,故估计总人数为.(3)利用列举法和古典概型计算公式求得相应的概率 .【试题解析】解：（1）根据列联表中的数据，得到 的观
13、测值为，故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.（2）这 80 位大学生集齐五福的频率为 .据此估算该校 10000 名在读大学生中集齐五福的人数为 .（3）设选取的 2 位男生和 3 位女生分别记为 ， ， ， ， ，随机选取 3 次采访的所有结果为， ， ， ， ， ， ， ， 共有 10 个基本事件，至少有一位男生的基本事件有 9 个，故所求概率为 .19. 如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 中， ， 为棱 上一点.（1）证明：平面 平面 ；（2）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由） ，并求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，可从线面垂直入手，即证 平面 ，进而得到面面垂直；（2）先找到过 A 的一个垂直于面. 的一个平面，优点 A 向两个面的交线作垂线即可，解析：（1）证明：底面 为菱形， .在直四棱柱 中， 底面 ， . ， 平面 .又 平面 ，平面 平面 .（2）解：设 与 交于点 ，连接 ，过 作 ， 为垂足， 即为 在平面 内的正投影.理由如下： 平面 ， ，又 ， ， 平面 ， ，又 ， 平面 . ， ， ，由 得 ，过 作 ，垂足为 ，由 得 . .
