1、2018 届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考数学（文）试题考试时量：120 分钟；总分：150 分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题仅有一个答案是正确的）1若复数 z= 2-i，其中 i 为虚数单位，则 Z 的共轭复数 z =（）A. 1+i B. 1iC. 1+i D. 1i2设全集 U=R，集合 A=x|x2-2x-30，B=x| x-10，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. x|x-1或 x3 B. x|x1 或 x3C. x|x1 D. x
2、|x-13数列 1n的前 2017 项的和为（）A. 208 B. 2081 C. 2071 D. 2074在区间 ,上随机地取一个数 x，则事件“ sinx”发生的概率为（）A. 3B. 12C. D. 65已知 sinco0，则 2sinicos的值为（） A. B. 5 C. 3 D. 16已知 0.lgm， .， 0.35p，则实数 ,mnp的大小关系为（） A. pn B. C. D. m7如右程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” 执行该程序框图，若输入 ,ab分别为 14,18，则输出的 ( )A. 0 B. 2 C. 4 D. 148函数 xya (
3、0且 1)与函数 21yax在同一坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D. 9已知首项为正数的等差数列 na的前 项和为 nS，若 108a和 9是方程 201780x的两根，则使 0nS成立的正整数 的最大值是（）A. 1008 B. 1009C. 2016 D. 201710如图，在平行四边形 ABCD中， 与 B相交于点 O， E为线段 A的中点.若BE（ R， ） ，则 （）A. 1B. 34C. 2 D. 11某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为 l，则该多面体的外接球的表面积是( )A. 27 B.C. 9 D. 412设 fx满足 -=ffx，且在 1,上是增函数，
4、且 1f， 若函数 21ta对所有 ，当 ,a时都成立，则 t的取值范围是（）A. 1 B. 或 2t或 0tC. 2t或 t或 D. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ,xy满足约束条件 10yx，则 2zxy的最小值为_14已知点 P（1,1）在直线 a x +4 b y - 1 = 0(ab0)上，则 1ab的最小值为15学校艺术节对同一类的 ,ABCD四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“ A作品获得一等奖” ；乙说：“ 作品获得一等奖”丙说：“ ,BD两项作品未获得一等奖” 丁说：“
5、是 A或 D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_ 16已知直线 )0(1kxy交抛物线 yx42于 E 和 F 两点，以 EF 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为72，则 k=_ .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题需要写出必要的解答过程）17(本小题满分 12 分)在 ABC中， cba,分别是角 CBA,的对边， 0cos)2(CaAb.（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积 的最大值.18(本小题满分 12 分)我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100 名按年龄分组：第 1 组
6、20,5，第 2 组 5,30，第 3 组 0,5，第 4 组 35,0，第 5 组40,5，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第 3，4，5 组的频率（2）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，我市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率19(本小题满分 12 分)如图，多面体 ABCDEF中， /,BCAD, F平面 ,/ABCFDE，且22.（） M为线段 中点，求证： /M平面 ；（）求多面体 ABCEF的体积.20(
7、本小题满分 12 分)已知椭圆 E: )0(12bayx经过点 P(2,1)，且离心率为 23（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M，N 满足 O，直线 PM、PN 分别交椭圆于A， B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由21(本小题满分 12 分) 已知函数 1xfea，函数 ln,gxaR.（）求函数 yg的单调区间；（）若不等式 1fx在 ,上恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 1,，求证不等式 2ln1xex.22(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l的参数方程为 tyx21（t
8、为参数） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 cos4（1）写出直线 l的普通方程和圆 C 的直角坐标方程（2）若点 P 坐标为（1，1） ，圆 C 与直线 l交于 A， B 两点，求 |PA|+|PB|的值醴陵市 2018 届高三第一次联考数学（文科）参考答案一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D B C A B B A C B A B8 A【解析】两汉素分别为指数函数和二次函数，二次函数的对称轴为直线 1xa，当 01a时，10a，当 1a时， 0，观察图象可知 A 选项符合.故选 A.9 C【解析】依题意知 10
9、89108927,210a，数列的首项为正数，,9108a26)(26)( 10980126 S，107207 1097a，使 nS成立的正整数 n的最大值是 26，故选 C.10 B【解析】 E为线段 AO的中点， 1112224BDBABD 34故选：B11 A【解析】根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，2=33球 =42=27故选：A12 B【解析】若函数 21fxta对所有的 1,x都成立，由已知易得 fx的最大值是 1，210ta，设 2gat，欲使 20at恒成立，则 1 20gt或 或 0t，故选 B.二填空题答案：13-514 9
10、 15C16 115 【 解析 】若 A是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 B是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若C是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 D是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 C16 【解析】试题分析：直线 10ykx恒过定点 ,1，而 0,为抛物线 24xy的焦点，则EFp，圆心到 轴的距离为 2EFyd，圆的半径为 EFr，联立 214kxy消去x得， 2210yky，则 1EFk，所以根据垂径定理有227EF，代入计算得 .三解答题17解析：（）因为 ，(2)=0所以 ，2=0由正弦定理得 ，.1 分2=0即 ，.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
11、 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分2(+)=0又 ，所以 ，+= (+)=所以 ，。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分(21)=0在 中， ，所以 12cosA。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分0 21=0即由 (0,)A得 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 6 分（注：缺条件 (0,)扣 1 分）=3（）由余弦定理得： ，。 。 。
12、 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分2=2+22=2+2 ，。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分42= ，=12=34344=3当且仅当 时“ ”成立，此时 为等边三角形，= = 的面积 的最大值为 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 3评析：提醒学生注意解题的严谨性18解析:（1）由题设可知,第
13、3 组的频率为 0065=0 3，第 4 组的频率为 0045=02，第 5 组的频率为 0025=01 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分（每对一个记 1 分）（2）因为第 3，4，5 组的人数之比为 :21.:.,所以利用分层抽样的方法在三个组中总共抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为：第 3 组： 6；第 4 组： 26；第 5 组： 6所以应从第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人 。 。 。 。 。 。 。 。6 分（3）设“第 4 组的 2 名志愿者中至少有一名志愿者被抽中”为事件 A。 。 。 。 。 。7 分记第 3 组的 3
14、 名志愿者为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1，B2，第 5 组的 1 名志愿者为 C1则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有：（A1,A2）, （A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,（A3,B1）,（A3,B2）,（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1） ，共有 15 种。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有：（A1,B1）, （A1,B2）,
15、（A2,B1）, （A2,B2）, （A3,B1）, （A3,B2）, （B1,B2）, （B1,C1）, （B2,C1） ，共有 9种 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分由古典概率公式得 P（A）= 935.11 分所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 35。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分评析：提醒学生注意第 3 小题解题步骤的规范与完整19解析：（）取 D中点 N，连接 CN 和 MN,M为梯形 ADEF 的中位
16、线AF。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分FA 平面 FAB,MN平面 FABMN平面 FAB.2 分四边形 ABCN 为矩形CNAB。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分FA 平面 FAB,CN 平面 FABCN平面 FAB。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4
17、 分MN CN=N平面 /CMN平面 ABFCM 平面 CMN。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 平面（注意：另一方法酌情给分）评析：提醒学生注意尽量不用课本外的公式与定理解题，万一使用也要先证明再使用（）8 分10 分。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分评析：提醒学生注意分步解答，尽量不列综合算式。20解析：（）由椭圆的离心率 e= 231abc，则 a2=4b2，。 。 。 。 。2 分将 P（2，1）代入椭圆 42byx，则 2，解得：b 2=2
18、，则 a2=8，。 。 。4 分椭圆的方程为： 182； 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分评析：第 20 题第一问为基础题，所有学生不容错过！（）当 M，N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在 y 轴上，当 M，N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由 tkxy128消去 y 得（1+4k 2）x2+8ktx+4t28=0，则=16 （8k2t2+2）0， x1+x2= 14，x1x2= 48kt，。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
19、7 分又直线 PA 的方程为 y1= 1（x2） ，即 y1= 21xtk（x2），.8 分因此 M 点坐标为（0， )(1tk） ，同理可知：N（0 ， )(2tk），9 分由 NO，则 2)(1xt+ 2)(xtk=0，化简整理得：（24k ）x1x2（24k+2t）（x1+x2）+8t=0，则（24 k） 82t（24k+2t）（ 82）+8t=0，。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分化简整理得：（2t+4）k +（t2+t2）=0， 当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）.。 。 。 。 。 。 。 。
20、 。 。12 分评析：提醒学生注意直线与圆锥曲线位置关系的解题套路，争取多拿分21解析：（）g(x)的定义域为 (0,)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分ln,gxaR，1x。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分当 0a时， ()0g在 (,)上恒成立所以 g(x)的增区间 ，无减区间。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分当 时，令 (
21、)x得 1ax令 ()0gx得 1a所以 g(x)的增区间 ,，减区间 1,a。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分评析：提醒学生注意含一个参数的函数单调性判断问题中分类讨论思想的应用（） 1fxg即 1ln0ea在 ,上恒成立设 1lxFx，考虑到 10Fe，在 ,上为增函数。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分1,0x，当 a时， Fx在 1,上为增函数， 0x恒成立。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分当 0时， 0， 在 1,上为增函数,x，在 ,x上， Fx， x递减，F，这时不合题意，
22、综上所述， 0a。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分（）要证明在 1,上， 12ln1xex只需证明 ln0xe。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分由（）当 a=0 时，在 ,上， 1lxe恒成立再令 lGx在 1,上， 10x ， Gx递增，所以 0x。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分即 ln1e，相加，得 1lnln0xex所以原不等式成立.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分22解析：（1）直线 l 的参数方程为 tyx21（t 为参数） 消去参数 t 可得：直线 l 的普通方程为： 0x；。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分圆 C 的方程为 cos4即 cos42，
