1、 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018 届高三第一次联考数学试题（理）一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 已知集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得 ： ， ，则 ，故，故选 C.2. 复数 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数 ，故复数的共轭复数为 ，故选 A.3. 将函数 的图像向右平移 个单位后得到的图像关于原点对称，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数 的图像向右
2、平移 个单位后得到 ,因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，故 ，解得 ，即，则正数 的最小值为 ，故选 B.4. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，故其在 内单调递增，又函数定义域为 ，故其为偶函数，综上可得 在 内单调递减，在 内单调递增且图象关于 轴对称， 即 等价于 且 ，即不等式的解集为 ，故选 C.点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到 为定义域内的偶函数且在 内单调递减，在 内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式 即可.5. 已
3、知命题 ， 且 ，命题 ， .下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于命题 ，当 时， 且 成立，故命题 为真命题；对于命题 ，其最大值为 ，故 ， 为真命题，由以上可得 为真，故选 A.6. 将正方体（如图 1）截去三个三棱锥后，得到（如图 2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图 2）所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点 在左侧面的投影为正方形， 在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线， 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选 D.7. 下列说法错误的是（ ）A. “函数 为奇函数”是“ ”的
4、充分不必要条件B. 已知 不共线，若 则 是 的重心C. 命题“ ， ”的否定是：“ ， ”D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是：“若 ，则 ”【答案】A【解析】当 时， “函数 为奇函数”但“ ”不成立；当 时， “ ”但“函数 为奇函数”不成立，故“函数 的奇函数”是“ ”的既不充分也不必要条件，故 A 错误；故选 A.8. 已知等比数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （ ）A. 510 B. 400 C. 400 或510 D. 30 或 40【答案】B【解析】等比数列 的前 项和为 ， 也成等边数列， ，解得： 或 ， ， （舍负），故 ，故选 B.9. 南宋数学家秦九韶在数书九章中提出
5、的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值 该程序的计算方式：第一步：计算 ，空白处的结果应为 ；第二步：计算 ，空白处的结果应为 ； 综合分析可得：空白处应填 ，故选 C.10. 已知 ，且 ，则 （ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】D【解析】 ， ， ， ， ， ， 或 ，即 或， ， 或 ，故选 D.点睛：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据
6、的范围求出 的范围，确定出， ，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.11. 已知 中， 为角 的对边， ，则 的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 无法确定【答案】B【解析】 ， ，即， 不共线，故有 ，即 ，可得 的形状为直角三角形，故选 B.点睛：本题考查平面向量基本定理与余弦定理的综合应用，求得 与的关系是解题的关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题；由条件求得 ，根据 不共线，求得 ，利用勾股定理即可判断三角形的形状.12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像
7、能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是（ ）对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；圆 的一个太极函数为 ；圆的太极函数均是中心对称图形；奇函数都是太极函数；偶函数不可能是太极函数.A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由定义可知过圆 的任一直线都是圆 的太极函数，故 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故 错误； ， 的图象关于点 成中心对称，又圆 关于点 成中心对称，故 可以为圆的一个太极函数，故 正确；太极函数的图象一定过圆
8、心，但不一定是中心对称图形，例如：故 错误 ；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故 错误；则错误的命题有 3 个，故选 C.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知平面向量 若与 的夹角为，且 ，则 _.【答案】【解析】 ， ， ，又 ，解得 或 ，故答案为 或 . 14. 曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】由 ，解得 或 ，曲线 及直线 的交点为 和 因此，曲线及直线 所围成的封闭图形的面积是 ，故答案为 .点睛：本题考查了曲线
9、围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积15. 已知等差数列 是递增数列，且 ， ，则 的取值范围为_.【答案】【解析】等差数列 是递增数列，且 ， ，又， ， ， ， ，即 的取值范围为 ，故答案为 .点睛：本题考查了数列的通项公式与求和公式、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；数列 是单调递增数列，根据满足 ， ，可得 ， ， 即可得
10、出.16. 是 上可导的奇函数， 是 的导函数.已知 时 不等式的解集为 ，则在 上 的零点的个数为_.【答案】 【解析】令 ，则 ，又 时， ， ， 在 上单调递增，又， ，不等式 等价于 ，即， ，解得 ，故 ，又 ，故在区间内的零点为 ，即 2 个零点，故答案为 2.三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知向量 .（1）求 的最大值及 取最大值时 的取值集合 ；（2）在 中， 是角 的对边若 且 ，求 的周长的取值范围.【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积运算公式，通过降幂公式及辅助角公式可将 化简为，利
11、用三角函数的性质可得最值及集合 ；（2）由 结合角的范围可得 ，利用余弦定理结合均值不等式可得 ，结合的值即可得周长的取值范围.试题解析：（1） ， ，的最大值为 ，此时 即 （2） ， , 由 得又 , 故 ，即周长的范围为 .18. 已知数列 满足 .（1）求证 是等比数列；（2）求 的通项公式.【答案】 （1）证明见解析；（2） .试题解析：（1）由 得， 是等比数列. （2）由（1）可得 ， ， 是首项为 ，公差为 的等差数列， .19. 四棱锥 中， ， ， 为 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求 与平面 所成角的余弦值 .【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分
12、析：（1）设 为 的中点，连接 ，首先证明 ，由此可得 ，再证明 ，可得 ，由线面垂直判定定理可得 面 ，最后由面面垂直判定定理可得结果；（2）设 为 的中点,连接 ，先证得 ，通过证明面 面 求出 与面改成角的大小，故而得出结论.试题解析：（1）设 为 的中点，连接 为 的中点， ，则 ， 又 ， ，从而 ，面 ，面 面 ， 面 面 .（2）设 为 的中点,连接 ,则 平行且等于 , ， ,不难得出 面 （ ）,面 面 , 在面 射影为 ， 的大小为 与面 改成角的大小,设 ，则 ，,即 与 改成角的余弦值为 .20. 已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加 100 元，
13、工厂每件产品的出厂价定为元时，生产 件产品的销售收入是 （元） ， 为每天生产 件产品的平均利润（平均利润总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件 元销售， ，其中为最高限价 ，为销售乐观系数，据市场调查，是由当 是 ， 的比例中项时来确定.（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求 的最大值；（2）求乐观系数的值；（3）若 ，当厂家平均利润最大时，求与 的值.【答案】 （1）400,200；（2） ；（3） ， .试题解析：（1）依题意总利润 ， ，,此时 , ,即，每天生产量为 400 件时，平均利润最大，最大值为 200 元 .（2）由 得 ， 是 的比例中项，两边除以 得 ，解得 . （3）厂家平均利润最大， 元，每件产品的毛利为 ， ，元， （元） ， 元.21. 已知函数 是 的一个极值点.（1）若 是 的唯一极值点，求实数的取值范围；（2）讨论 的单调性；（3）若存在正数 ，使得 ，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）当 时， 在 递减，在 上递增，当 时， 在 ,上递增，在 上递减,当 时， 在 , 上递增，在 递减，
