1、1二面角求法二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例 1 . 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 二面角 A-BD-C1 的正切值为 .解析：易知COC 1 是二面角 C-BD-C1 的平面角，且 tanCOC1= 。2例 2.在锥体 P-ABCD 中， ABCD 是边长为 1 的菱形，且DAB=60 ， 2PAD,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点.求：二面角 P-AD-B 的余弦值.解：由（1）知 为二面角 的平面角，GBPAB在 中， ；在 中，RtPA217()4RtGA；223()4B在 中， .G221
2、cos 7PB2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图 3，设锐二面角 ，过面l内一点 P 作 PA 于 A，作 ABl 于 B，连接 PB，由三垂线定理得 PBl，则PBA 为二面角 的平面角，故称此法为三垂线法.例 3.如图 4，平面 平面 ， =l，A ，B ，点 A 在直线 l 上的射影为A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA 1=1， BB1= ，2求：二面角 A1ABB 1 的正弦值.分析与略解：作 A1EAB 1 于 AB1 于 E，则可证 A1E平面 AB1B.过 E 作 EFAB 交 AB 于 F，连接 A1F，则得 A1FAB ，A 1FE 就是所求二面
3、角的平面角.依次可求得AB1=B1B= ，A 1B= ，A 1E= ，A 1F= ，2 323DB1图 1A OA1CBD1 C1O1A图 3PBl图 4B1A A1BlEFPABCDFG E2则在 RtA 1EF 中，sinA 1FE= = .A1EA1F 63例 4.如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA平面 ABCD,点 E在线段 PC上,PC平面 BDE. 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A的正切值. 解:由(1)得 BD平面 PAC,BDAC. 又四边形 ABCD为矩形,四边形 ABCD是正方形. 设 AC交 BD于 O点,PC平面 BDE,BEO
4、 即为二面角 B-PC-A的平面角. PA=1,AD=2,AC=2 ,BO=OC= ,PC= =3,又 OE= = = 在直角三角形 BEO中,tanBEO= = =3,二面角 B-PC-A的正切值为 3.例 5. 如图, 四棱锥 P-ABCD中, 底面 ABCD为矩形, PA底面 ABCD, PA=AB= , 点 E是棱 PB的中点. (1) 若 AD= , 求二面角 A-EC-D的平面角的余弦值. 3(1) 过点 D作 DFCE, 交 CE于 F, 过点 F作 FGCE, 交 AC于 G, 则DFG 为所求的二面角的平面角. 由() 知 BC平面 PAB, 又 ADBC, 得 AD平面 P
5、AB, 故 ADAE, 从而 DE= =. 在 RtCBE 中, CE= = . 由 CD= , 所以CDE 为等边三角形, 故 F为 CE的中点, 且 DF=CDsin = . 因为 AE平面 PBC, 故 AECE, 又 FGCE, 知 FG= AE, 从而 FG= , 且 G点为 AC的中点. 连结 DG, 则在 RtADG 中, DG= AC= = . 所以 cosDFG= = . 3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表
6、示的向量，进行向量计算解题。分别求出 和 的法向量 ，则二面角 的大小为 或 nm, lnm,n,45例 1. 如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA平面 ABCD,点 E在线段 PC上,PC平面 BDE. 若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A的正切值. 由(1)可知 BD面 PAC,BDAC,矩形 ABCD为正方形,建立如图所示的坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),P(0,0,1),C(2,2,0),B(2,0,0). =(0,0,1), =(2,2,0). 设平面 PAC的法向量为 n1=(x,y,z),则 令 x=1,6y=-1,z=0. 即 n1
7、=(1,-1,0). 同理求得面 PBC的一个法向量 n2=(1,0,2). cos= . 设二面角 B-PC-A的大小为 ,则 cos = ,sin = ,tan =3. 例 2. (2014广东,18,13 分)如图,四边形 ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC 于点 F,FECD,交 PD于点 E.(1)求二面角 D-AF-E的余弦值.解法一:设 AB=1,则 RtPDC 中,CD=1,DPC=30,PC=2,PD= ,由(1)知 CFDF,DF= ,CF= ,又 FECD, = = ,DE= ,同理 EF= CD= ,解法二：如图所示,以 D为原点,建立空间直角坐
8、标系,则 A(0,0,1),7E ,F ,P( ,0,0),C(0,1,0).设 m=(x,y,z)是平面 AEF的法向量,则 又 令 x=4,得 z= ,故 m=(4,0, ),由(1)知平面 ADF的一个法向量为 =(- ,1,0),设二面角 D-AF-E的平面角为 ,可知 为锐角,cos =|cos|= = = ,故二面角 D-AF-E的余弦值为 .例 3.(2010天津, 19, 12 分) 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是棱 BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, ABADAA 1=124. (1) 求二面角 A1-ED-F的正弦值(1) 设平面 EFD的法向量u=(x, y, z) , 则 即不妨令 x=1, 可得 u=(1, 2, -1) . 由() 可知, 为平面 A1ED的一个法向量. 于是 cos= = . 从而 sin= . 所以二面角 A1-ED-F的正弦值为 .
