1、江苏省海安县 2018届高三上学期第一次学业质量测试数学试题一、填空题：1.已知集合 3,01A， ,2B，则 BA .2.设复数 z满足 ii)(，其中 i为虚数单位，则 z的模为 .3. 已知一个边长为 2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为 . 4.某校高一年级共有 800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于 80分的学生人数为 .5.如图，是一个算法的流程图，则输出的 b的值为 .6.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 )0,(12bayx的渐近线方程为 xy3，则该双曲线的离心率为 .7.已知正三棱
2、锥的体积为 36cm，高为 c4，则底面边长为 cm.8.已知 53cos， )2,0(，则 )3sin(的值为 .9.关于 x的不等式 ,Rbax的解集 4|x，则 ba的值为 .10.已知数列 na是公差不为 0的等差数列，其前 n项和为 nS，若 0741，则 56aS的值为 .11.已知函数 mxf,12)(的值域为 R，则实数 m的取值范围是 .12.在平面直角坐标系 Oy中，分别过点 )2,(M， )1,(N的直线 1l， 2满足： 21l，且 1， 2l被圆 C：)0()4(22ryx截得的弦长相等，则直线 l的斜率的取值集合为 .13.在 ABC中，已知 ABtan3t,，若
3、BC的面积 BAS，则 S的值为 .14.已知 0,yx，且 1yx，则 28yx的最小值为 .二、解答题15.已知向量 )sin,(coxa， )3,(b， ,0.（1）若 b/，求 的值；（2）记 xf)(，求 )(xf的最大值和最小值以及对应的 x的值16.如图，在直三棱柱 1CBA中，点 ED,分别在棱 1,CB上（均异于端点） ，且 DCA1，DCEA1（1）求证：平面 1平面 1；（2）求证： /1平面 AC.17.如图，已知 AB是一幢 6层的写字楼，每层高均为 3m，在 AB正前方 36m处有一建筑物 CD，从楼顶A处测得建筑物 CD的张角为 045.（1）求建筑物 的高度；（
4、2）一摄影爱好者欲在写字楼 AB的某层拍摄建筑物 CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？18. 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 :C)0(12bayx的左顶点为 )0,5(A，离心率为52.（1）求椭圆 C的方程；（2）如图， PQ是圆 O： 22ayx的直径（点 P在 x轴上方） ， AP交椭圆 C于点 M， 2AQ，设AM与 的面积分别为 21,S，求 21:.19.已知函数 xeaxf)()2，其中 R， e是自然对数的底数.（1）当 a时，求曲线 (fy在 0处的切线方程；（2）求函数 )(xf的单调减
5、区间；（3）若 4在 0,上恒成立，求 a的取值范围.20.设数列 na的前 项和为 nS，且 *,2Nn.（1）求证：数列 为等比数列； （2）设数列 2na的前 项和为 nT，求证： nS2为定值；（3）判断数列 3n中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.21.【选做题】A.如图，四边形 ABCD是圆的内接四边形， BDC， A的延长线交 CD的延长线于点 E.求证： E平分 F.B.已知变换 T： yxyx2，试写出变换 T对应的矩阵 A，并求出其逆矩阵 1A.C.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程为 tyx32（ 为参数） ，曲线 C的参数方程为myx23（ 为参数
6、）.若直线 l与曲线 C相交于 BA,两点，求线段 AB的长.D.设 321,a均为正数，且 1321a，求证： 91321a.【必做题】22.如图，在长方体 1DCBA中， A， 1.（1）求异面直线 1与 1所成角的余弦值；（2）求二面角 所成角的正弦值.23.某厂每日生产一种大型产品 1件，每件产品的投入成本为 2000元.产品质量为一等品的概率为 5.0，二等品的概率为 4.0，每件一等品的出厂价为 10000元，每件二等品的出厂价为 8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来 1000元的损失.（1）求在连续生产 3天中，恰有一天生产的两件
7、产品都为一等品的的概率；（2）已知该厂某日生产的 2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率；（3）求该厂每日生产该种产品所获得的利润 （元）的分布列及数学期望.试卷答案一、填空题：1、 3 2、 5 3、 2 4、240 5、166、2 7、 6 8、 10 9、5 10、 311、 1,0 12、 37,5 13、 2 14、27二、解答题15.解：（1）因为 )sin,(coxa， )3,(b， ba/，所以 xi3cs.若 0o，则 0，与 1cosi22x矛盾，故 0cosx.于是 3tanx.又 ,0，所以 65.（2） )6cos(32sinco3),()sin,(co)
8、( xxxbaxf .因为 ,0，所以 67，从而 23)6cos(1x.于是当 ，即 0时， )(xf取到最大值 3；当 6x，即 65x时， 取到最大值 2.16.证明：（1）直三棱柱 1CBA中， 1平面 ABC，因为 AD平面 B，所以 D.又 C1， 11， 1,平面 1，所以 平面又 AD平面 1，所以平面 1ADC平面 1B.（2）因为 E，由（1）同理可得 E平面 1C.又由（1）知， 平面 1B，所以 /1.又 A平面 1DC， A平面 D，所以 A平面 1D.17.解：（1）如图，作 E于 ，则 E/.所以 8BE， 36.因为 2136tan，所以 31tan1)45ta
9、( DAEAECA .所以 E.答：建筑物的高度为 30米.（2）设在第 n层 M处拍摄效果最佳，则摄影高度为 )1(3n米（如图） （ Nn,61）.作 CDN于 ，则 )1(3nN， nC30.21ta， 12taMND， 12tantan)tan(tn nCM1920)6(15202nn（当 6n时取等号）.因为函数 xyta在 ,上是单调增函数，所以当 时，张角 CMD最大，拍摄效果最佳.答：该人在 6层拍摄时效果最好.18.解：(1)由条件， 5a， 2c，所以 2c，从而 12cab，所以椭圆 C的方程是 12yx.(2)由(1)知，圆 O的方程为 52x，因为 2AQ，设 ，则
10、cos，所以 2tan，从而直线 AQ的斜率为 2.因为 P是圆 的直径，所以 AQP，从而直线 P的斜率为 1，所以直线 的方程为 )5(21xy.联立方程组 15)(2yx得 092x，解得 1， 92，即 95Mx.联立方程组 5)(2yx得 012，解得 3， 34，即 53Px.所以 9)(43921 APMxS .19. 解：(1)因为 xef1()2，所以 10(f.因为 xxf3()2，所以 2)(f.所以切线方程为 012yx.(2) 因为 xxeaeaf )2(2)()( ，当 a时， xx，所以 f无单调减区间.当 2即 时，列表如下：所以 )(xf的单调减区间是 ),2
11、(a.当 2a即 时， xexf)( ，列表如下：所以 )(xf的单调减区间是 )2,(a.综上，当 2a时， )xf无单调减区间；当 时， (的单调减区间是 ),(；当 时， )xf的单调减区间是 2a.(3) xxeeaf )(2(2 .当 a时，由(2)可得， )(f为 R上单调增函数，所以 )(xf在区间 0,4上的最大值 42)0(f，符合题意.当 2时，由(2)可得，要使 x在区间 ,上恒成立，只需 )0(af， )()22eaf，解得 2ae.当 4时，可得 4， 40(f.设 aeg)(，则 aeg1)(，列表如下：所以 41)()(maxeg，可得 4ae恒成立，所以 42a
12、.当 4时，可得 0f，无解.综上， 的取值范围是 ,2.20.解：（1）当 1n时， ,1aS，解得 21a.当 2时， 1)()2( nnnn aa ，即 12na.因为 01，所以 1n，从而数列 na是以 2为首项，2 为公比的等比数列，所以 n2.（2）因为 na4)2(，所以 421n，故数列 n是以 4为首项，4 为公比的等比数列，从而 )1(21)(2nnnS， )14(3)(4nnnT，所以 3nT.（3）假设 na中存在第 )(,knm项成等差数列，则 kmna3)(2，即 kma2332.因为 k，且 N,，所以 k1.因为 12)3( nmkmna ，所以 ，故矛盾，所
13、以数列 n中不存在三项成等差数列.21. A.证明：因为四边形 ABCD是圆的内接四边形，所以 BCDEA.因为 BC，所以 .又 EFA， ，所以 D，即 平分 F.B.解：由 yxyx102，得 102A.设 dcbaA1，则 EA，即 102dcbadb，所以 102dc，解得 102dca，所以 102A.C.解：由 tyx32消去参数 t，得 )23(xy，由 myx2消去参数 ，得 xy62.联立方程组 xy6)23(2，消 x得 0932y，解得 31， 2.所以 ),9(A， ),1(B，所以 8)3()2(2.D.证明：因为 31,a均为正数，且 1321a，所以 9)1(3)()( 3212321321321 aa ，（当且仅当 a时等号成立）所以 9321a.22. 解：在长方体 1DCBA中，以 1,A分别为 zyx,轴建立空间直角坐标系 xyzO，(1)因为 1AB， 3，所以 )3,0(， )3,(1C，所以 21C， |， 5|1.
