1、实验二 钢管下料问题摘要：生活中常会遇到通过切割、剪切、冲压等手段，将钢管加工成所需尺寸这种工艺过程，称为钢管下料问题。本文通过对这一问题的讨论、分析，建立了既能满足客户需求，又能使总费用最小，从而使自己所得利润最大的数学模型。运用该模型针对已知的案例进行了分析，建立了具体模型，并用 LINGO 软件进行了求解，所得结果满足客户需求，且所需费用最少。一、问题重述：某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货是得到的原料钢管长度都是 1850 。现有一顾客需要 15 根 290 ，28 根 315 ，21 根mm350 和 30 根 455 的钢管。为了简化生产过程，规
2、定所使用的切割模式的种类不超m过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多，一根原料钢管最多生产 5 根产品。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100 。为了使得总费用最小，问应如何下料？二、基本假设与符号说明基本假设：1、 钢管切割过程中没有原料的损耗；2、 钢管进购回来时的长度都相等，都为 1850 ；m3、 一根原料钢管最多生产 5 根产品；4、 原料钢管费用为单位 1；5、 钢管生产所使用得切割模式种类不超过 4 种。符
3、号说明： 第 种切割模式所切割的钢管根数（ =1、2、3、4） 。ixi i=1、2、3、4 表示 290 、315 、 350 、 455 这 4 种类别的钢管。jmm： 表示第 （ =1、2、3、4）种切割模式所生产的第 （ =1、2、3、4）类钢管的iri j数量。：生产满足客户需求的所有钢管要花费的总费用。z三、问题分析首先，应当确定采用哪些可行的切割模式。所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将 1850 的钢管切割成 5 根 350m的钢管，余料为 100 ；或者将 1850 的钢管切割成 2 根 290 、1 根mm350 、2 根 45
4、5 的钢管，余料为 10 。很显然，可行的切割模式是很多的。其次，应当确定哪些切割模式是合理的。对于当前所讨论的这一问题，显然合理的切割模式是余料不应该超过 100 。最后问题化为在满足客户需要的条件下，按照那些合理的切割模式，切割多少根原料钢管，最为节省，使生产费用最少。四、模型建立由于所使用的切割模式不能超过 4 种，且使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，依次类推。所以在这里我们以总费用最少为目标，即Min (1)1234.1.zxx满足客户要求的约束条件为：； (2)415irx； (3)21
5、8i； (4)43irx； (5)410i每一种切割模式必须可行、合理，所以每一根原料钢管的成品量不能超过 1850 ，m也不能少于 1750 ， （余量不能大于 100 ） ，于是mm(6)112131475950580rr(7)2220(8)3132334(9)444rr由于 种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：； (10)1234xx由问题很明显可以看出所需要的原料钢管总根数不可能少于 9058502143019根再考虑一种特殊的切割模式：第一种切割模式下只生产 钢管，一根原料钢管m20切割成 根 钢管，为满足 根 钢管的需求，需要 根原料钢管；第二种6m2m3切割模
6、式下只生产 钢管，一根原料钢管切割成 根 钢管，为满足 根3528钢管的需求，需要 根原料钢管；第三种切割模式下只生产 钢管，一根原3156 5料钢管切割成 根 钢管，为满足 根 钢管的需求，需要 根原料钢管;第502130四种切割模式下只生产 钢管，一根原料钢管切割成 根 钢管，为满足44根 钢管的需求，需要 根原料钢管。于是满足要求的这种生产计划共需要048根原料钢管，所以，所需要的原料钢管总根数不可能多于 22 根。即286(11)13492xx最后加上非负整数约束：、 ， =1、2、3、4 ； =1、2、3、4 (12)ixjrzij五、模型求解将（1） （12）输入 LINGO 软件
7、求解得到如下结果（求解代码见附录）：:Variable Value Reduced CostX1 14.00000 -0.1000000X2 4.000000 0.000000X3 1.000000 0.1000000X4 0.000000 0.2000000R11 1.000000 0.000000R21 0.000000 0.000000R31 2.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R12 2.000000 0.000000R22 0.000000 0.000000R32 0.000000 0.000000R42 1.000000 0.000000R1
8、3 0.000000 0.000000R23 5.000000 0.000000R33 1.000000 0.000000R43 3.000000 0.000000R14 2.000000 0.000000R24 0.000000 0.000000R34 2.000000 0.000000R44 1.000000 0.000000由求解结果可知钢管下料的最优方案为：290mm 钢管根数 315mm 钢管根数 350mm 钢管根数 455mm 钢管根数 所需原料钢管根 数模式一 1 2 0 2 14模式二 0 0 5 0 4模式三 2 0 1 2 1六、模型检验本次生产需要的原料钢管根数为 19
9、 根，分别按照模式一切割 14 根，模式二切割 4 根，模式三切割 1 根：290 的钢管有： ；m142165315 的钢管有： ；8350 的钢管有： ；5455 的钢管有： ；30模式一的余料为： ；80924501mmm模式二的余料为： ；1850310mm模式三的余料为： ；29524510m有以上检验结果可知，模型求解结果满足题中约束条件。七、参考文献【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003.8。【2】袁新生、邵大宏、郁时炼，LINGO 和 Excel 在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007。【3】吴珍、董晓旭，原料钢管下料的非线性优化模型，ht
10、tp:/ ， 2012.5.7八、附录钢管下料问题总费用最少的 LINGO 求解代码及结果：min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;x1*r11+x2*r21+x3*r31+x4*r41=15;x1*r12+x2*r22+x3*r32+x4*r42=28;x1*r13+x2*r23+x3*r33+x4*r43=21;x1*r14+x2*r24+x3*r34+x4*r44=30;290*r11+315*r12+350*r13+455*r14=1750;290*r21+315*r22+350*r23+455*r24=1750;290*r31+315*r32+350*r33+
11、455*r34=1750;290*r41+315*r42+350*r43+455*r44=1750;290*r11+315*r12+350*r13+455*r14=19;x1+x2+x3+x4=x2;x2=x3;x3=x4;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r14);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r24);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r34);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r44);Local optima
12、l solution found.Objective value: 21.50000Extended solver steps: 2901Total solver iterations: 87547Variable Value Reduced CostX1 14.00000 -0.1000000X2 4.000000 0.000000X3 1.000000 0.1000000X4 0.000000 0.2000000R11 1.000000 0.000000R21 0.000000 0.000000R31 2.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R12 2.
13、000000 0.000000R22 0.000000 0.000000R32 0.000000 0.000000R42 1.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R23 5.000000 0.000000R33 1.000000 0.000000R43 3.000000 0.000000R14 2.000000 0.000000R24 0.000000 0.000000R34 2.000000 0.000000R44 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 21.50000 -1.0000002 1
14、.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 80.00000 0.0000007 0.000000 0.0000008 90.00000 0.0000009 70.00000 0.00000010 20.00000 0.00000011 100.0000 0.00000012 10.00000 0.00000013 30.00000 0.00000014 0.000000 -1.20000015 3.000000 0.00000016 10.00000 0.00000017 3.000000 0.00000018 1.000000 0.000000
