1、广东省中山市第一中学 2018 届高三第二次统测数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 230,2AxBx，则 AB（ ）A x B 3 C. 13x D 12x2.若复数 2zaiR在复平面内对应的点在 y轴上，则 z（ ）A1 B3 C. 2 D43 设4322log,abc，则（ ）A B ab C. cba D acb 4.已知 ,均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 3（ ）A 13 B 10 C. 4 D135.已知角 的终边过点 4,3P，则 cos的值
2、为（ ）A 7210 B 7210 C. 210 D 2106.已知等差数列 na中， 256,a.若 2nba，则数列 nb的前 5 项和等于（ ）A30 B45 C. 90 D1867.下列选项中，说法正确的是（ ）A 若 0ab，则 lnab B.向量 1,21mmR 垂直的充要条件是 1mC 命题“ *,3nnN”的否定是“ *1,32nnN”D.已知函数 fx在区间 ,ab上的图象是连续不断的，则命题“若 0fab，则 fx在区间 ,ab内至少有一个零点”的逆命题为假命题8.函数 yfx满足对任意 xR都有 2fxfx成立， 且函数 1yfx的图象关于点 1,0对称，14f，则 20
3、167018f（ ）A12 B 8 C. 4 D09.设函数 sinfx在 0x处取得极值，则 2001cosxx的值为（ ）A1 B 1 C. 2 D210.如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A 21xy B 2sin41xyC. 2xye D lnxy 11.将函数 sin0fx的图象向右平移 4个单位长度，得到函数 g的图象，若ygx在 ,63上为增函数，则 的最大值为（ ）A3 B2 C. 2 D 54 12.已知函数 gxa（ 1,xe为自然对数的底数）与 2lnhx的图象上存在关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是（ ）A 21,e B 21,e C. 21,e D 2,e第卷
4、（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 941xya（ 0且 1a）恒过定点 ,Amn，则 logm 14已知函数 sin,2f 的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为 2，且过点 2,，则函数 fx 15.已知 AB与 C的夹角为 90, ,1ABC， ,AMBCR，且 0AMBC，则 的值为 16.已知数列 na中， 102a， *123nnaN，记 12nnSaa .若2015nS，则 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 13cos,s74，且 02.（1
5、）求 tan2的值.（2）求 .18. 已知 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 234bac.（1）求 cos的值；（2）若 13b，且 sin,siBC成等差数列，求 ABC的面积.19.已知正数数列 na的前 项和 nS满足 *1nnaSN.（1）求 n的通项公式；（2）设 nba，求证： 12nb .20.张老师开车上班，有路线与路线两条路线可供选择. 路线：沿途有 ,AB两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 ,23，若 A处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 2 分钟；若 B处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 3 分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为 20 分钟.路线
6、：沿途有 ,ab两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为 3,45，若 a处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 8 分钟；若 b处遇红灯或黄灯，则导致延误时间 5 分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为 15 分钟.（1）若张老师选择路线，求他 20 分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由.21. 已知函数 21lnfxax.（1）讨论 f的单调性；（2）设 0a，证明：当 0xa时， fxfa；（3）设 12,x是 f的两个零点，证明： 120.22. 已知在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程是24xty（ t是参数）
7、，以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos.（1）判断直线 l与曲线 的位置关系；（2）设 ,Mxy为曲线 上任意一点，求 xy的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBAB 6-10: CDCDC 11、12：CA二、填空题13. 12 14.sin26x 15. 14 16. 1343三、解答题17.（1）由 1cos,07得22143sin1cos7. i43tas.于是 22tan83t147.（2）由 0得 0.又 13cos4， 2213sin1cos4.由 ，得：cossin1343712所以 3.18.（1）由 234acbac，可得
8、 2254cbac.所以258，即 5os8B.（2）因为 13b， c，所以2251344aac，又 sin,siABC成等差数列，由正弦定理，得 cb，所以 13524ac，所以 12.由 5cos8B，得 398sin，所以 C的面积 39sin84ABCS.19.（1）当 ， 211a，又 0na所以 12；当 2n时， 2nnS，所以 1na 因此 a是以 12为首项，2 为公比的等比数列.故 *nN.（2）令 12231nn nTb ，则 234112n nT ，两式相减得 31n n ，所以 2312n nT 12n.20. （1）走路线，20 分钟能到校意味着张老师在 ,AB两
9、处均遇到绿灯，记该事件为 A，则23P.（2）设选择路线的延误时间为随机变量 ,则 的所有可能取值 为 0， 2， 3， 5.则 12120,33P， ,566P.的数学期望 1102523E.设选择路线的延误时间为随机变量 ，则 的可能取值为 0， 8， 5， 13.则 60,845204520PP， 3913,.的数学期望 693852020E.因此选择路线平均所花时间为 分钟，选择路线平均所花时间为 1520分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线. 21. （1） fx的定义域为 0,.由已知，得 2111xaxafa，若 0a，则 0x，此时 f在 0,上单调
10、递增.若 ，则由 f，得 xa.当 0xa时， 0f；当 时， 0fx.此时 f在 ,上单调递减，在 ,a上单调递增. （2）令 gxfafx，则 2 21 1ln lnaaxaxax 2lnlxaxx所以 22axgxxa.当 0时， 0，所以 g在 0,a上是减函数.而 g，所以 gx.故当 x时， faxf.（3）由（1）可知，当 0a时，函数 f至多有一个零点， 故 ，从而 fx的最小值为 fa，且0fa.不妨设 12x，则 12xa，所以 10ax.由（2），得 12fafff.从而 21x，于是 12xa.由（1）知， 0f.22（1）直线 l的普通方程为 420xy.曲线 C的直角坐标方程为 1.圆心 2,到直线 420xy的距离52d，所以直线 l与曲线 C的位置关系是相离.（2）设 22cos,sinM，（ 为 MC与 x轴正半轴所成的角）则 in4xy.因为 0所以 2,.
