1、2017 届江苏省兴化一中高三下学期期中考试数学试题一、填空题1已知 为实数集， ，则 _.【答案】 |01 x【解析】由已知有 ，而 ，所|RNx2|0 |2Mxx以有 。|M2命题:“ , ”的否定是_.【答案】 20,10xx【解析】命题 P： 的否定是“2,10x，”。2,xx3已知 z=（a i） （1+i ） （aR，i 为虚数单位） ，若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则 a= 【答案】1【解析】试题分析：由题意化简 z=a+1+（a1 ）i，由题意可得，其虚部（a1 ）=0，故可得答案解：由题意化简 z=a+1+（a1）i，因为复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，所以复
2、数 z 为实数，即其虚部 a1=0，解得 a=1故答案为：1【考点】复数的代数表示法及其几何意义4设不等式组 ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_.【答案】 【解析】如上图所示，平面区域 D 表示的图形为边长为 2 的正方形，在区域 D 内随机取一点，此点到原点的距离大于 2 表示的图形是半径为 2 的 的圆，故 P（此点到原点距离大14于 2） 。14点睛：本题主要考查了用几何概型求概率，属于基础题。本题关键是画出图形，算出面积比。5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于 .【答案】【解析】试题分析：根据程序框图可知，
3、 ，故输出21,2120,3203,4SkSkSk的结果为 .【考点】程序框图.6椭圆 的右焦点为 ，右准线为 ，若过点 且垂直于 轴的弦的弦长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是_【答案】 12【解析】设过点 且垂直于 轴的弦为 AB，设 ，则 ，由于点 A 在椭1,Axy1xc圆上，则 ，所以 ，弦长 ，点 到 的距离为21ycab421bya2=bBa，由题意有 ，解得 ，所以椭圆离心率 。22c2cc12ce7已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的最大值为_.【答案】1【解析】以 AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴，建立直角坐标系，如上图，可得,设
4、 ， 01,01ABCD， ， ， ， ， ,01Ex, ，由于 ，所以 的DEXC DEC最大值为 1.8设 且 若定义在区间 内的函数 是奇函数，则 的取值范围是_【答案】 32,【解析】因为 为奇函数，所以 ，则 ，fxfxf1lgl2axx解得 ，所以 ，由 有 ，故定义域为2a12lg0，则 ，所以 ，故 。1,b12b32ab9巳知函数 有两个不同的零点 ，且方程 有两个不同的实根 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m 的值为_.【答案】 32【解析】由题意有 ，当 ，则 构成等差数列，123,x0m34,2x则 与 ，显然不可能；当 时，则 302x034,2x构
5、成等差数列，所以 ，则 ，而3,23dd356x，所以 。5coss62m10等比数列 中， ，函数 ，则曲线在点 处的切线方程为_.【答案】 2013yx【解析】在等比数列 中， ，且na 2120201106793aa，所以12fxx，012012012012016726033a 所以函数 在点 处切线方程为 ，即yfx,f yffx。2013点睛：本题主要考查了等比数列的性质，求导法则，利用导数研究曲线在某点处切线的方程，属于中档题。利用等比数列的性质及求 是解答本题的关键。0f11已知变量 ，则 的最小值为_ .【答案】9【解析】设 ，本题即求 的最小值，由于点,52,cos,2inA
6、aB2ABA 在直线 ： 上，点 B 在圆 ： 上，由数形结合可知，l0xyC24xy由圆心 向直线 作垂线， 的最小值就是夹在直线与圆间的部分，圆心0,OlA到直线的距离 ， ，所以 最小值为 9.52dmin5232AB12已知函数 ，其中 若函数 仅在 处有极值，则 的取值范围是_【答案】 8,3【解析】 ，要使函数 仅在 322443fxaxxafx0处有极值，必须满足 在 两侧异号，所以 恒成立，则f0243xa，解得 。2960a8313已知 成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则 的值为 【答案】20【解析】略14如图，用一块形状为半椭圆 的铁皮截取一个以短
7、轴 为底的等腰梯形 ，记所得等腰梯形 ABCD 的面积为 ，则 的最小值是_【答案】 239【解析】设 ，根据 D 点在椭圆上，所以 ，等腰,(0)Dxy 2221,4yxx梯形 ABCD 的面积 ，所以令112SABCyy， 2fxS，则24314184(01)yxxx，令 ，因为 ，368fx20,1f所以 ，易得当 时， 有最大值 ，所以 ， 有最22xxS742xS大值 ，则 的最小值为 。31S1239点睛：本题考查椭圆方程的应用，是中档题。解题的关键是由椭圆的方程消元，将面积表示成 的函数，再利用导数求出函数的极值。x二、解答题15已知函数 f(x)2sin(2x)(02) 的图象
8、过点( ，2) （1）求 的值；（2）若 f( ) ， 0，求 sin(2 )的值【答案】 （1） ；（2） .7435【解析】试题分析：（1）由图象经过点 ，求出 的值；（2）由 的,2cos值求出 的值，用二倍角公式求出 的值，再代入公式，求出sinsin,co的值。i26试题解析：（1）因为函数 f(x)2sin(2 x )(0 2)的图象过点( ，2)，所以 f( )2sin( )2，即 sin 1因为 0 2，所以 （2）由（1）得， f(x)2cos2 x 因为 f( ) ，所以 cos 又因为 0，所以 sin 所以 sin2 2sin cos ，cos2 2cos 2 1 从而
9、 sin(2 )sin2 cos cos2 sin 74350点睛：本题主要考查三角函数求值，属于中档题，考查的公式有同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的正弦公式等。16如图，三棱柱 ABCA 1B1C1 中，M，N 分别为 AB，B 1C1 的中点（1 ）求证：MN 平面 AA1C1C；（2 ）若 CC1CB 1，CACB，平面 CC1B1B平面 ABC，求证：AB平面 CMN【答案】 （1）详见解析， （2）详见解析.【解析】试题分析：（1）证明线面平行，需先证明线线平行.证明线线平行，需先利用平行四边形. 取 A1C1 的中点 P，则可得四边形 AMNP 为平行四边形，所以MNA
10、P因为 AP 平面 AA1C1C，MN 平面 AA1C1C，所以 MN平面 AA1C1C （2）条件中面面垂直，需先化为线面垂直. 因为平面 CC1B1B平面 ABC，平面 CC1B1B平面ABCBCCN 平面 CC1B1B，CNBC,所以 CN平面 ABC因为 AB 平面 ABC，所以CNAB因为 CM 平面 CMN，CN 平面 CMN，CMCNC，所以 AB平面 CMN试题解析：证明：（1）取 A1C1 的中点 P，连接 AP，NP因为 C1NNB 1，C 1PPA 1，所以 NPA 1B1，NP A1B1 2 分在三棱柱 ABC A1B1C1 中，A 1B1AB，A 1B1AB故 NPA
11、B，且 NP AB2因为 M 为 AB 的中点，所以 AM AB所以 NPAM，且 NPAM所以四边形 AMNP 为平行四边形所以 MNAP 4 分因为 AP 平面 AA1C1C，MN 平面 AA1C1C，所以 MN平面 AA1C1C 6 分（2 ）因为 CACB，M 为 AB 的中点，所以 CMAB 8 分因为 CC1CB 1，N 为 B1C1 的中点，所以 CNB1C1在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BCB 1C1，所以 CNBC因为平面 CC1B1B平面 ABC，平面 CC1B1B平面 ABCBCCN 平面 CC1B1B，所以 CN平面 ABC 10 分因为 AB 平面 ABC，所以
12、 CNAB 12 分因为 CM 平面 CMN，CN 平面 CMN，CMCNC，所以 AB平面 CMN 14 分【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，线面垂直判定定理17 （ 13 分）如图，椭圆 经过点 ，离心率 ，直线 l 的方程为 （1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ） 是经过右焦点 的任一弦（不经过点 ） ，设直线 与直线 相交于点 ，记 、 、 的斜率分别为 、 、 问：是否存在常数 ，使得? 若存在，求 的值； 若不存在，请说明理由【答案】 （1） （ 2） 【解析】试题分析：（1）将点 代入椭圆方程，再根据 ，解22,ceabc方程组可求得 的值，从而可得椭圆方程 （2）设直线
13、 的方程为 ，,abc 1ykx与椭圆方程联立，消去 得关于 的一元二次方程，由韦达定理可得两根之和，两根yx之积根据斜率公式分别求 和 的值求 12k3试题解析：解：（1）由 在椭圆上，得 又 得 由，得故椭圆 C 的方程为 5 分（2 ）设直线 的方程为 ，由7 分10 分又将 代入 得， ， ， 12 分故存在常数 符合题意 13 分【考点】1 椭圆的简单几何性质； 2 直线与椭圆的位置关系问题18如图（示意） ，公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 的角形耕地，其中tan2在该块土地中 P 处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM，AN 的距离分别为 3km，km现要过点 P 修建一条直
14、线公路 BC，将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定 B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积【答案】当 AB5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为 15km2【解析】试题分析：先确定点 P 的位置，再利用 BC 的斜率表示工业园区的面积，利用导数求其最值.以 A 为原点，AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系因为 tan2，故直线 AN 的方程是 y2x 设点 P(x0，y 0)因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y03由 P到直线 AN 的距离为 ，得 ，解得 x01 或 x04( 舍去) ，所以点5025xyP(1，3)显然直线 B
15、C 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y3 k(x 1)，k(2，0)令 y0 得 xB1 由 解得 yC 设ABC 的3k62k面积为 S，则 S xByC 由22269891kS 0 得 k 或 k3所以当 k 时，即 AB5 时，S243k434取极小值，也为最小值 15试题解析：解：如图 1，以 A 为原点，AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系因为 tan 2，故直线 AN 的方程是 y2x 设点 P(x0，y 0)因为点 P 到 AM 的距离为 3，故 y03 由 P 到直线 AN 的距离为 ，5得 ，解得 x0 1 或 x04(舍去) ，025xy所以点 P(1，3) 4 分显然直线 BC 的斜率存在设直线 BC 的方程为 y3k(x1) ，k(2 ，0) 令 y0 得 xB1 6 分3k由 解得 yC 8 分2k设ABC 的面积为 S，则 S xByC 10 分12269891kk由 S 0 得 k 或 k3243k4当2k 时，S0， S 单调递减；当 k0 时，S0，S 单调递增 13分
