1、戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 1 -戴氏教育名校冲刺教育中心高一函数及其表示重难点突破（一）【亲爱的孩子：重要的不是知识的数量,而是知识的质量,有些人知道很多很多,但却不知道最有用的东西】一、 课程大纲1函数的概念 2函数的表示法；映射。3函数的基本性质：单调性与最大（小）值，奇偶性。二、新知讲解重点：函数的概念（函数的三要素、函数相等）；函数的三种表示方法；分段函数；映射；函数的单调性（单调性的判断与证
2、明）；函数的最值；函数的奇偶性（奇函数、偶函数图像的特征）。难点：1、函数的概念：设 A、B 是两个非空的数集，如果按某一个确定的 对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x），xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域；与 x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数 值得集合f （x） xA叫做函数的值域。注：函数的三要素：定义域、对应法则、 值域。2、区间的概念定义 名称 符号 数轴表示xaxb 闭区间 a,b a b xxaxb 开区间 (
3、a,b) a bxx戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 2 -xaxb 半开半闭区间 a,b) a b xxaxb 半开半闭区间 (a,b a b x注： 实数 a,b 叫做相应 区间的端点. 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集 R 可以用区间表示为 ，“”读作“无穷大”， “-”读作“ 负无穷大”(,)，“+”读作“正无 穷大”.3、函数相等：如果两个函数的定义域相同，
4、并且 对应关系完全一致，我 们就称这两个函数相等。4、函数的表示法：解析式法、列表法、 图象法。5、映射：设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个映射。6、函数与映射的相同与区别：（1）相同： 任意性 唯一性 确定性 集合 A 中的元素不可剩余，B 中元素可剩余。（2）区别： 函数中 A、B 是两个非空的数集，映射中 A、B 是两个非空的集合； 函数是特殊的映射； 映射是函数的拓展； 函数一定是映射，但映射不一定是函数。考点：三、例题精讲例题
5、1（函数概念的考查）判断下列对应是否是以 x 为自变量的函数。戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 3 -（1） 2,0xxR（2） 这里,y2*,.y随堂演练：下列各题的对应关系是否给出了实数集 R 上的一个函数？为什么？（1）f：把 x 对应到 3x+1；（2）g：把 x 对应 到 ；1（3）h：把 x 对应 到 ，（4）r：把 x 对应到 .例题 2（函数三要素的考查）给出下列四种说法： 函数就是定义域到值
6、域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素； 因为 f（x）=5 这个数值不随 x的变化而变化，所以 f（0）=5 也成立； 定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了。正确的有（ ）戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 4 -A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例题 3（函数相等的考查）判断下列各组中的两个函数是否相等，为什么？（1） ；()5),()53xfgx（2） ；2,（
7、3） 0()1().fxx随堂演练 判断下列各组中的两个函数是否相等. （1） ；2()1,()1fxxgx（2） ；25)5（3） ；()(,()()fnZnZ（4） .2211xgtt例题 4（区间的考查）将下列集合用区间表示：（1） ；23xx或（2） ；0戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 5 -随堂演练 将下列集合用区间表示：（1） ；2x（2） ；03x且（3） .()1x.例题 5（函数定义域的考
8、查）求下列函数的定义域：（1） ；()26fx（2） .15x（3） ；2()3fx注：函数 y=f（x）一解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来 说，常有以下几种情况：（1）f（x）为整式型函数时，定义域为 R。如一次函数、二次函数等；（2）f（x）为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合。如反比例函数等；（3）f（x）为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；（4）若 f（x）为 0 次幂或负整数指数幂型函数，则定义域为使幂底数不等于零的实数的集合；（5）如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义
9、域是各个简单函数定义域的交集。戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 6 -随堂演练 求下列函数的定义域：（1） ；()2fx（2） ；013f（3） .2()4fxx例题 6（函数表示法的考查）将一条长为 10cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。试用多种方法表示两个正方形的面积和 S 与其中一段铁丝长 x 的函数关系。 （x 属于正整数）随堂演练 作业本每个 0.3 元，买 x 个作
10、业本的钱 数 y（元），试用三种方法表示此题中的函数。戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 7 -例题 7（分段函数的考查）作出下列函数的图象：（1） ；2yx（2） .43随堂演练 作出函数 的图象.23yx例题 8 （映射的考查）给出下列四个对应： 其构成映射的是 （ ） A只有 B.只有 C.只有 D.只有随堂演练 已知集合 ， ，下列不表示从 到 的映射是（ ）04Px02QyPQ1:2fxy1:3Bfx
11、y3C D能力提升题戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 8 -1. 复合函数及其定义域的方法1 复合函数的定义如果函数 y=f（t）的定义域 为 A，函数 t=g（x）的定义域为 D，值域为 C，则当 ,称A函数 y=g(x)为 f（x）与 g（x）在 D 上的复合函数，其中 t 叫做中间变量， t=g（x）叫做内层函数，y=f （t）叫做外层函数。2 复合函数的定义域函数 fg(x)的定 义域还是指 x 的取
12、值范围，而不是 g（x）的范围。 已知 f（x）的定义域为 A，求 fg(x)的定义域，其实质是已知 g（x）的取值范围为 A，求出 x 的取值范 围； 已知 fg(x) 的定义 域为 B，求 f（x）的定义域，其实质是已知 fg(x)中的 x 的取值范围为 B，求出 g（x）的范围，此范 围就是 f（x）的定义 域； 同一对应法则 f 下的范围相同，即 f（t），fg(x)，fh(x)三个函数中的 t，g（x），h（x）的范围相同。例 1 若函数 f（x）的定义域为1,4 ，求函数 f（x+2）的定义域。例 2 已知 的定义域为0,3,求 f（x）的定义域。(1)fx戴氏教育精品堂 达州校区
13、 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 9 -随堂演练 （1）若函数 f（x）的定义域是-2,2 ）,则函数 y=f（2x+1）的定义域；（2）若函数 y=f（2x+1）的定义域是-2,2 ），则函数 f（x）的定义域。2. 函数的值例 3 函数 ，若 ，则求实数 a。4()1fx()2fa随堂演练 已知 .21(),()fxgx（1）求 f（2），g（2）的值；（2）求 fg(2)的值；（3）求 fg(x).3. 抽象函数问题例 4 已
14、知函数 f（x）满足： ，则 f（2010）。1(),4()()()ffxyfxfy戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 10 -随堂演练 若函数 f（ x） 满足 ，则下列各式不恒成立的是（ ）()()fyfxyA f（ 0） =0 B.f(3)=3f(1) C.f( )= D.f(-x)f(x)012(f4. 函数解析式的求法（1） 待定系数法例 5 已知一次函数 f（x），满足 f（0）=5，函数图象过点（
15、-2,1），求 f（x）。（2） 配凑法、换元法、方程组法例 6 求下列函数的解析式： 已知 ，求 f（x）；2(1)3fx 若 ，求 f（x）。3()fx（3） 特殊值法例 7 设 f（x）是 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且 对任意实数 x，y 有 f（x-y）=戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 11 -f（x）-y（2x-y+1），求 f（x）的表达式 。随堂演练 （1）已知 f(x)是一次函数
16、，且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数 f(x)的解析式。（2）已知 f(2x+1)=3x-2，求函数 f(x)的解析式。（3）已知函数 f(x)满足 1()2fxfx， 求函数 f(x)的解析式。5. 分段函数求值问题例 8 设函数 ，若 f（a）=4，则求实数 a。2,0()xf随堂演练 已知： ，求 ff(-1)戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 12 -综合题1. 函数 的定义域为
17、 R，求 实数 a 的取值范围。22(1)()1yaxa2. （1）已知函数 为一次函数，且一次项系数大于 0，若2(),()fxg，求 g（x）。2()405fg（2）已知 f（x）为二次函数，且满足 f（0）=1，f（x-1）-f（x）=4x，求 f（x）的解析式。（3）已知 3f（x）+2f（-x）=x+3，求 f（x）。戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路 55 号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515- 13 -四、课后练习1.求函数 的定义域。216yx2.设 ，则 等于多少？2()1f()f3.若函数 的定义域是0,1,求函数 f（x）的定 义域 。2()fx4.下列给出的是分段函数的是（ ）A. B. C. D.21,5xy21,xRy23,15xy23,01xy5.已知 f（x）为一次函数， 2f（2）-3f（1）=5,2f（0）-f（-1）=1，则求 f（x）的解析式。
