1、,第二十二章 一元二次方程复习,,本章知识网络,概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0)直接开平方法:x2=p(p0) (mx+n)2 =p(p0) 解法 配方法一 公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0元 判别式:b2-4ac=0判别式 不解方程,判别方程根的情况,二 用处 求方程中待定常数的值或取值范围,进行有关的证明,次 关系: x1+x2=-b/a x1x2=c/a已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,方 根与系数的关系 求与方程的根有关的代数式的值,用处 求作一元二次方程,程 已知两数的和与积,求此两数判断方程两根的特殊关系,实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,
2、验,答,,1.一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,,1.直接开平方法,对于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直接开平方法解,,2.配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:,1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5
3、.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法,,3.公式法,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(,老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0.,,公式法是这样生产的,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 吗?,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:
4、方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,,4.分解因式法,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.,老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,,ax2+c=0 =,ax2+
5、bx=0 =,ax2+bx+c=0 =,因式分解法,公式法（配方法）,2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）,3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。,1、,直接开平方法,因式分解法,,我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,,若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0,判别式逆定理,若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0,若方程没
6、有实数根,则b2-4ac0,若方程有两个 实数根,则b2-4ac0,,判别式的用处,1.不解方程.判别方程根的情况, 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数的值或取值范围, 3.进行有关的证明,,一元二次方程根与系数的关系,设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0） 的两个根,则有,x1+x2= , x1x2= .,,解应用题,列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:
7、答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.,,1.数字与方程,例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.,,数字与方程,例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.,,2.几何与方程,例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.,,几何与方程,例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条
8、水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.,,几何与方程,例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形. (1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪? (2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪? (3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?,,例1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?,3.增长率与方程 基本数量关系:a(1+x)2=b,,例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?,增长率与方程,,例
9、1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?,4.美满生活与方程,,思考(09年广东中考)（本题满分9分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？,,例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率
10、大约是多少? (精确到0.01%) .,美满生活与方程,,例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?,5.经济效益与方程,,6.我是商场精英,例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?,,例. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每
11、天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?,7.利润与方程,,回味无穷,列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: a(1x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数),
