1、最短路径之 Dijkstra 算法详细讲解1 最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返 A 地区和 B 地区之间，我们最希望知道的可能是从 A 地区到 B 地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：(1)确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。(2)确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。(3)确定起点终
2、点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。(4)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”， 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有：Dijkstra 算法、A*算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法、Johnson 算法。本文主要研究 Dijkstra 算法的单源算法。2 Dijkstra 算法2.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra 算法能得
3、出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。2.2 Dijkstra 算法思想Dijkstra 算法思想为：设 G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合 V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用 S 表示，初始时 S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合 S 中，直到全部顶点都加入到 S 中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用 U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入 S 中。在加入
4、的过程中，总保持从源点 v 到 S 中各顶点的最短路径长度不大于从源点 v 到 U 中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S 中的顶点的距离就是从 v 到此顶点的最短路径长度，U 中的顶点的距离，是从 v 到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。2.3 Dijkstra 算法具体步骤(1)初始时，S 只包含源点，即 S=，v 的距离为 0。U 包含除 v 外的其他顶点，U 中顶点 u 距离为边上的权(若 v 与 u 有边)或 )(若 u 不是 v 的出边邻接点)。(2)从 U 中选取一个距离 v 最小的顶点 k，把 k，加入 S 中(该选定的距离就是 v 到 k
5、 的最短路径长度)。(3)以 k 为新考虑的中间点，修改 U 中各顶点的距离;若从源点 v 到顶点u(u U)的距离(经过顶点 k)比原来距离(不经过顶点 k)短，则修改顶点 u 的距离值，修改后的距离值的顶点 k 的距离加上边上的权。(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在 S 中。2.4 Dijkstra 算法举例说明如下图，设 A 为源点，求 A 到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。(注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)图一：Dijkstra 无向图算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册-日志相册”中，名为“Dijkstra 算法过程”的图就是了】
