1、1课时分层作业(十五) 常见函数的导数(建议用时：45 分钟)基础达标练一、填空题1若 f(x) ，则 f(1)_.3x【答案】 132下列命题中，正确命题的个数为_. 【导学号：95902200】若 f(x) ，则 f(0)0；x(log ax) xln a；加速度是动点位移函数 S(t)对时间 t的导数；曲线 y x2在(0,0)处没有切线【解析】 因为 f(x) ，当 x趋向于 0时不存在极限，所以 f(x)在 0处不存在导x数，故错误；(log ax) ，故错误；瞬时速度是位移 S(t)对时间 t的导数，故1xln a错误； y x2在(0,0)处的切线为 y0，故错误【答案】 03曲
2、线 ysin x在点 处切线的斜率为_(6， 12)【解析】 ycos x，曲线 ysin x在点 处切线的斜率为 cos .(6， 12) 6 32【答案】 324设 f(x) x4，若 f( x0)4，则 x0_. 【导学号：95902201】【解析】 f( x)4 x3， f( x0)4 x 4， x 1，则 x01.30 30【答案】 15已知函数 f(x)log 2x，则 f(log 2e)_.【解析】 f( x) ， f(log 2e) 1.1xln 2 1log2eln 2【答案】 126曲线 f(x) 在 处切线的方程为_1x (2， 12)【解析】 f( x) ， k f(2
3、) ，则切线方程为 y (x2)，1x2 14 12 14即 x4 y40.【答案】 x4 y407若曲线 y x 在点( a， a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a_.【答案】 648设直线 y x b是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b的值为_. 12【导学号：95902202】【解析】 设切点为( x0， y0)，则 y ， ， x02，1x 1x0 12 y0ln 2，切点为(2，ln 2)，切点在切线上，ln 2 2 b， bln 21.12【答案】 ln 21二、解答题9求下列函数的导数：(1)y x8；(2) y4 x；(3) ysin ；(4)
4、 ye 2.(x2)【解】 (1) y( x8)8 x81 8 x7.(2)y(4 x)4 xln 4.(3) ysin cos x，(x2) y(cos x)sin x.3(4)y(e 2)0.10求抛物线 y x2上的点到直线 x y20 的最短距离【解】 方法一：依题意知与直线 x y20 平行的抛物线 y x2切线的切点到直线x y20 的距离最小，设切点为( x0， x )， y( x2)2 x，2 x01，20 x0 ，切点坐标为 ，12 (12， 14)所求的最短距离 d .|12 14 2|2 728方法二：设点( x， x2)是抛物线 y x2上任意一点，则该点到直线 x y
5、20 的距离d |x2 x2| ，|x x2 2|2 |x2 x 2|2 22 22(x 12)2 728当 x 时， d有最小值 ，即所求的最短距离为 .12 728 728能力提升练1设曲线 y xn1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn，则 xn等于_. 【导学号：95902203】【解析】 y( n1) xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为 y1( n1)( x1)令 y0 得 xn .nn 1【答案】 nn 12函数 y x2(x0)的图象在点( ak， a )处的切线与 x轴交点的横坐标为 ak1 ， k为正2k整数， a116，则 a1 a3 a5
6、_.【解析】 y2 x，切线斜率 k2 ak，切线方程为 y a 2 ak(x ak)，2k令 y0， a 2 akx2 a ， ak1 ak，2k 2k12若 a116， a34， a51， a1 a3 a5164121.【答案】 213曲线 ye x上到直线 y x距离最短的点的坐标为_【解析】 设与直线 y x平行的直线 l与曲线 ye x相切于点 P(x0， y0) ye x，e 1， x00 代入 ye x，x0 得 y01， P(0,1)【答案】 (0,1)44已知两条曲线 ysin x， ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 【导学号：95902204】【解】 不存在理由如下：设两条曲线的一个公共点为 P(x0， y0)，所以两条曲线在 P(x0， y0)处的切线斜率分别为 k1cos x0， k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须有 cos x0(sin x0)1，即 cos x0sin x01，也就是 sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
