1、- 1 -湖北省荆门龙泉中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1下列说法中错误的是（ ）A给定两个命题 ，若 为真命题，则 都是假命题；,pqpq、B命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”；230x1x1,x230xC若命题 ，则 ，使得 ；:,xpR0:pR0xD函数 在 处的导数存在， 是 的极值点.则()f0 0(=:fxq） ； ()f是 的充要条件.q2直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍，则直线 的斜率为（ ）l1:320lxylA B C D34
2、3423已知集合 ，设 ，在集合 内随机取出一2,(,)|,PxyABP个元素 为点 的坐标，则点 到直线 的距离不大于 的概率为（ ）(,)xyQ012A B C D1424124 “ ”是“方程 为双曲线的方程”的 （ ）26m2216xymA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知直线 是圆 的一条对称轴，过点10()axyaR22:()()4Cxy向圆 作切线，切点为 ，则 （ ）(2,)|ABA B C D6 1326过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 交抛物线于 两点，且2(0)ypxF60lAB、，则 （ ）|F|:|=A B C2 D313
3、327如图是某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎- 2 -ODBCAPQ叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.A84 4.84 B84 1.6 C85 4 D85 1.68已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物24xyBP线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，|=|PmPA、则此双曲线的离心率为（ ）A B C D5+122+12+1519函数 的定义域为 ，且满足 ， 的导函数 的图象如右图，若正()fxR()f()fx()fx实数 满足 ，则 的取值范围为（ ）,ab()
4、1fabaA B C D2()3,3(,4)13(,)210现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆（同一品牌的小车完全相同） ，计划将其放在 4 个车库中（每个车库放 2 辆） ，则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法有（ ）种A144 B108 C96 D7211如图，在三棱锥 D中， 2,AB，平面 平面 ,O为 中点， ,PQ分别为线段 BC上的动点（不含端点） ，且 C，则三棱锥 O体积的最大值为（ ）A B C D248242161412已知函数 lnfxx,若 kZ,且 对任意的 恒成立，则 k的()(xfx最大值为（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题：本题共 4 小题，
5、每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13曲线 在 处的切线与曲线 相切，则 .lnyx12yaxa14椭圆 的长轴长是短轴长的两倍，则 的值为 2mm15 .1()xd16已知定义在 R上的函数 fx满足 21f，且 fx的导函数 1fx，则不等- 3 -式 21fx的解集为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 10 分）对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取 N个产品（其中 20） ，得到频率分布直方图如图.（）求 m的值；（）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命的平均数、
6、中位数分别是多少？（）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为20 的样本，则在 400500 及 500 600 这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大于 1000 小时的概率是多少？18 （本小题满分 12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品须向总公司缴纳 a 元( a 为常数，2 a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为 (e 为自然对数的底数)万件，已知每kex件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35
7、 元，最高不超过 41 元(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值19 （本小题满分 12 分）已知以点 )2(tC， （ 0tR且 ）为圆心的圆与 x轴交于点 O和点A，与 y轴交于点 O和点 B，其中 为原点（1）求证： 的面积为定值；（2）设直线 42x与圆 交于点 M,N，若NOM，求圆 C的方程- 4 -20 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2
8、E 是 PB 的中点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）若二面角 PACE 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面63EAC 所成角的正弦值21 （本小题满分 12 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，2:1(0,)xyCab1F2上顶点为 ，在 轴负半轴上有一点 ，满足 ，AxB12F且 2BF（）求椭圆 的离心率；C（）若过 、 、 三点的圆恰好与直线2相切，求椭圆 的方程； 30xy（）在（）的条件下，设直线 ： (其中 、 )与椭圆 交于不同两lykxmkZC点 ，与双曲线 交于不同两点 问是否存在直线 ，使向量,MN2:14xD,EFl，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在
9、，请说明理由0FE22. （本小题满分 12 分）已知函数 .()ln ()1afxR（1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围；92agkk（2）当 时，试比较 与 1 的大小；()fx（3）证明： ln(1) (*)3572nN- 5 - 6 -龙泉中学高二下学期数学试卷答案1-12：D B D D C D D C B D A C12解： 令 则 ，令 ，ln,1xkln(),1xg 2ln()1)xg()2lnhxx则 在 上递增。 (),()0,()hxxhx,)由 31ln042ln得， 使得 在 上递减，在 上递增，0(,)x()gx01,0(,)x，代入上0min
10、00l,()2ln,gh0l2x式得：，故 .0in0()(3,4)x0kx13.1 14. 4 或 15. 16. 1|217. 解：（）由 0.10.40.101mm得.5， 。 。 。 。 。 。3 分（）平均数估计值为0.15.225.536.x，前 2 组的频率为 0.25，前 3 组的频率为 0.65，所以中位数的估计值为 05.4. 7（）使用寿命在 400500 有 人，在 500600 有 人，0.41故 10 分2437915Cp18.解：解：(1)由题意，该产品一年的销售量 y ，kex将 x40， y500 代入，得 k500e 40.该产品一年的销售量 y(万件)关于
11、 x(元)的函数关系式为 y500e 40 x.L(x)( x30 a)y500( x30 a)e40 x(35 x41)(2)L( x)500e 40 x( x30 a)e40 x500e 40 x(31 a x)当 2 a4 时， L( x)500e 40 x(31435)0，当且仅当 a4， x35 时取等号所以 L(x)在35,41上单调递减因此， L(x)max L(35)500(5 a)e5.当 4 a5 时， L( x)035 x31 a；L( x)031 a x41.- 7 -所以 L(x)在35,31 a)上单调递增，在(31 a,41上单调递减因此， L(x)max L(3
12、1 a)500e 9 a.答：当 2 a4 时，每件产品的售价为 35 元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为500(5 a)e5万元；当 4 a5 时，每件产品的售价为(31 a)元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为500e9 a万元19. 解：（1） OC过 原 点圆，设圆 C的方程是 2224()(ttytx令 0x，得 ty4,21；令 0y，得 x,214| tBASOB，即： OAB的面积为定值（2） ,CNMO垂直平分线段 MN21ocNkk， 直线 的方程是 xy21, t，解得： t或 ,当 t时，圆心 的坐标为 ),(， 5OC，此时 C到直线 4xy的距离 59
13、d，圆 与直线 4xy相交于两点当 2t时，圆心 的坐标为 )1,2(， OC，此时 C到直线 4xy的距离 59d圆 与直线 2不相交， 2t不符合题意舍去圆 的方程为 5)1()(yx20.（）证明：PC平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPC，AB=2，AD=CD=1，AC=BC= ，AC2+BC2=AB2，ACBC，又 BCPC=C，AC平面 PBC，AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC4 分 （）如图，以 C 为原点，取 AB 中点 F， 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，A（1，1，0） ，B（1，1，0） 设 P（0
14、，0，a） （a0） ，则 E（ ， ， ） ，（6 分）=（1，1，0） ， =（0，0，a） ， =（ ， ， ） ，取 =（1，1，0） ，则 = =0， 为面 PAC 的法向量设 =（x，y，z）为面 EAC 的法向量，则 = =0，- 8 -即 取 x=a，y=a，z=2，则 =（a，a，2） ，依题意，|cos ， |= = = ，则 a=2（10 分）于是 =（2，2，2） ， =（1，1，2） 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则sin=|cos ， |= = ，即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 （12 分）21. 解：（）由题意知 ， ， ， 知 为 的
15、中1(,0)Fc2(,)(0,)Ab12BF12BF点，AB2 中， ， ，又RtF22ABF222(4)9)cba2bc ，故椭圆的离心率 3 分ac1ea（）由（）知 得 ，于是 , ，12ac2(0)a3(,0)2B的外接圆圆心为（ ，0） ，半径 ，2RtABFr所以 a|31|，解得 =2， ， ， 1c3b所求椭圆方程为 6243xy分（）由（）知， 得：21xykm22(34)8410kxm 22(8)4(3)0km设 M(x1， y1)，N( x2， y2)，则 12234xk， -7 分由24k得：22(3)0kmx2()10mA- 9 -设 E(x3， y3)， F(x4，
16、 y4)，则 ，- 8 分342kmx由 得：0NM312 ，解得： 或 -10 分228km0当 时，由得： ，又 ，3Z1,0当 时，由得： k，又 ，0 k满足条件的直线有 5 条-12 分22解：（1）当 时， ，其定义域是92a9()ln2(1)fxx， ，当 或 时，(0,) 21()f2)(102x；当 时， .函数 在 上单调fx2x0fx()f,、 (,+)递增，在 上单调递减. 的极大值是 极小值是1(,)f13ln2f.当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或3)lnf()gxkk4 分2k（2）当 时， ，其定义域为 ，a2()l1fx(0,)令 ， ，()1lnhxf2 1() 0()()xhx()x在 上是增函数.(0,) 当 时， ，即 .1x()10hx()1fx 当 时， ，即 .当 时，即 ，即 . 8 分0x()x()fx（3）根据（2）的结论，当 时， ，即 ，令12ln11lnx，1 (*)kxN则有 ，ln21k11ln2nkk- 10 - 111ln()ln3572k k (*)nN12 分
