1、课后限时集训(五十一) (建议用时：60 分钟)A 组 基础达标1(2019湖北部分学校联考)已知椭圆 D： 1( a b0)的右焦点为 F， A 为短x2a2 y2b2轴的一个端点，且| OA| OF|， AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点)(1)求椭圆 D 的标准方程；(2)过椭圆 D 长轴左端点 C 作直线 l 与直线 x2 交于点 M，直线 l 与椭圆 D 的另一交点为 P，证明： 为定值OM OP 解 (1)因为| OA| OF|，所以 b c，而 AOF 的面积为 1，所以 bc1，解得 b c ，所以 a2 b2 c24，12 2所以椭圆 D 的标准方程为 1.x24 y
2、22(2)由题意可知直线 MC 的斜率存在，设其方程为 y k(x2)，代入 1，得(12 k2)x28 k2x8 k240，x24 y22所以 P .又 M(2,4k)，(4k2 22k2 1， 4k2k2 1)所以 (2,4 k) 4，为定值OM OP ( 4k2 22k2 1， 4k2k2 1)2(2019东北三校联合模拟)已知圆 M： x2( y2) 21，直线 l： y1，动圆 P 与圆 M 相外切，且与直线 l 相切设动圆圆心 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)若点 A， B 是 E 上的两个动点， O 为坐标原点，且 16，求证：直线 AB 恒OA OB 过定点解 (
3、1)设 P(x， y)，则 ( y1)1 x28 y.x2 y 2 2所以 E 的方程为 x28 y.(2)证明：易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB： y kx b， A(x1， y1)， B(x2， y2)将直线 AB 的方程代入 x28 y 中，得 x28 kx8 b0，所以 x1 x28 k， x1x28 b. x1x2 y1y2 x1x2 8 b b216 b4，所以直线 AB 恒过定点OA OB x21x264(0,4)3(2019湖南五市十校联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，过左焦点x2a2 y2b2 35F 且垂直于长轴的弦长为 .325(1)求椭圆 C 的
4、标准方程；(2)点 P(m,0)为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 P 且斜率为 的直线 l 交椭圆 C 于45A， B 两点，证明：| PA|2| PB|2为定值解 (1)由Error!可得Error!故椭圆 C 的标准方程为 1.x225 y216(2)证明：设直线 l 的方程为 x y m，代入 1，54 x225 y216消去 x，并整理得 25y220 my8( m225)0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 m， y1y2 ，45 8 m2 2525又| PA|2( x1 m)2 y y ，21411621同理可得| PB|2 y .则| PA|2|
5、PB|2 (y y ) (y1 y2)22 y1y241162 4116 21 2 4116 41.4116( 4m5)2 16 m2 2525 所以| PA|2| PB|2是定值B 组 能力提升1(2019邢台模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的短轴长为 2 ，离心率为 ，圆x2a2 y2b2 5 32E 的圆心在椭圆 C 上，半径为 2，直线 y k1x 与直线 y k2x 为圆 E 的两条切线(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)试问： k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解 (1)由 2b2 得 b ， e ， ，5 5ca 32 c2a2 34 a2 b2 c2，
6、 ，解得 a220， b25，a2 5a2 34椭圆 C 的标准方程为 1.x220 y25(2)设 E(x0， y0)，直线 y k1x 与圆 E：( x x0)2( y y0)24 相切， 2，整理得( x 4) k 2 x0y0k1 y 40，|k1x0 y0|k21 1 20 21 20同理可得( x 4) k 2 x0y0k2 y 40，20 2 20 k1， k2为方程( x 4) x22 x0y0x y 40 的两个根， k1k2 .20 20y20 4x20 4又 E(x0， y0)在椭圆 C： 1 上，x220 y25 y 5 ， k1k2 ，20 (1x2020) y20
7、4x20 4 5(1 x2020) 4x20 4 14故 k1k2的定值为 .142已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率 e ，短轴长为 2 .x2a2 y2b2 22 2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为 A，过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P， Q 两点，直线 PA， QA 分别与 y 轴交于 M， N 两点试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)？请证明你的结论解 (1)由短轴长为 2 ，得 b ，2 2由 e ，ca a2 b2a 22得 a24， b22.所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y22(2)以 MN
8、 为直径的圆过定点 F( ，0)2证明如下：设 P(x0， y0)，则 Q( x0， y0)，且 1，即 x 2 y 4，x204 y202 20 20因为 A(2,0)，所以直线 PA 方程为 y (x2)，y0x0 2所以 M ，直线 QA 方程为 y (x2)，(0，2y0x0 2) y0x0 2所以 N ，以 MN 为直径的圆为( x0)( x0) 0，(0，2y0x0 2) (y 2y0x0 2)(y 2y0x0 2)即 x2 y2 y 0，4x0y0x20 4 4y20x20 4因为 x 42 y ，所以 x2 y22 y20，20 20x0y0令 y0，则 x220，解得 x .2所以以 MN 为直径的圆过定点 F( ，0)2
