1、- 1 -福建省莆田第一中学 2019 届高三数学下学期第四次月考试题 文一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集 ， ， ，则 （ ）UR2|ln(1)Axyx|xByeRACBA B C D(1,0)(,00,0,1)2已知 i 为虚数单位，复数满足，则在复平面上复数对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.将甲乙两个篮球队 5 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）A.甲队平均得分高于乙队的平均得分B.甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C.甲
2、队得分的方差大于乙队得分的方差D.甲乙两队得分的极差相等4.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）,mnlmnlA充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线 的两条渐近线与圆 相切于 、2:1(0,)xyCab2:(4)DxyA两点且双曲线 的右焦点 与圆 的圆心 重合，则双曲线的实轴长为（ ）BFDA. B. C. D. 322336如图，大圆和小圆是同心圆，且曲边三角形关于圆心成中心对称.在该图案内取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 33137函数 的部分图象大致是（ ）2()cos)xef- 2 -8.四元玉鉴是中国古代
3、数学的重要著作之一，由元代数学家朱世杰所著，创立四元消法，解多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另两个重大成就是“垛积术”(高阶等差数列求和）及“招差术”（有限差分），如图所示，程序框图的算法思路即源于该书的“茭草形段”问题，执行该程序框图，若输入的值是 7，则输出的值为（ ）A.65 B.140 C. 266 D. 462 9.已知 满足 ,则 的取值范围是( ) ,xy2031264xyA. B. 71,7C. D.9,00,2（第 8 题）10.对于函数 ，下列说法正确的是（ ）()lnxfA. 在 上单调递减 B. 有极小值 C. 有最小值 D. 有最大值0,eeee11.在 中，
4、 的对边分别为 ，若 ，ABC, ,abc2oscs1ABC， ，则 的值为（ ）4sin3i1abA. B. C. D. 1737612.若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D5123263二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量 ,若 ,则 . ,1,12abmcabcAm14.直线 是曲线 的切线，则实数 = . yxlnyx15.已知均为锐角，且，则的最小值是 . 16.如图（1） ，在等腰直角 ABC 中，斜边 AB=4，D 为 AB 的中点，将 ACD 沿 CD 折叠得到如- 3
5、-图（2）所示的三棱锥 。若三棱锥 的外接球的半径为 ，则 = .BDACBDAC5DBA三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分 12 分)正项等比数列中，已知，.求的前项和；对于中的，设，且，求数列的通项公式.18. (本小题满分 12 分）如图，在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中1ABCDEABC点， ， 平面 ,且 .12ABE90（1）证明： 平面 ；/C1D（2）若 ， 为等边三角形，36AB求四棱锥 的体积.1AE- 4 -19. (本小题满分 12 分）为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“
6、走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议。为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3 的比例分层抽样，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图。 （已知高一年级共有 1200 名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于 6 小时记为“优秀” ，否则为“非优秀” ，在样本数据中，有 30 位高三学生的每周平均体育运动时间不少于 6 小时，请完成下列 列联表，2并判断是否有 99%的
7、把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”基础年级 高三 合计优秀非优秀合计 300P(K2 k0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附： K2n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a c） （ b d）20. (本小题满分 12 分）已知圆 O：和一定点 G（0，-6） ，过点 G 作圆 O 的两条切线 GA，GB.（1）若 G 点关于原点的对称点为抛物线 Q：的焦点，过 P（1，0）且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 Q 交于不同的两点 M，N， ，求实数 k 的值;（2）求与圆 O 外切，
8、并且与直线 GA,GB 都相切的圆 C 的方程.- 5 -21.(本小题满分 12 分）设函数若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；若，且当时不等式恒成立，试求 k 的最大值22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线 的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立l极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为写出直线 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；l已知与直线 平行的直线 过点，且与曲线 C 交于 A，B 两点，试求23. (本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数1)解不等式； 若，求的取值范围- 6 -莆田一中 2018-201
9、9 学年度高三年级第四次月考试卷数学（文科）参考答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案 B C C B D C B C A B A D二、选择题：13. -1 14. 1 15 16.32三解答题：17 解：设正项等比数列的公比为，则由及得，化简得，解得或（舍去）.于是，所以，.由已知， ，所以当时，由累加法得.又也适合上式，所以的通项公式为，.18.（1）证明：设 与 相交于 ，连接 ，1ABDFE由题意可知， ， ，/1所以四边形 是平行四边形，-2 分1从而 是 的中点.FAB又 是 的中点，EC所以 .-4 分1/又 平面 ， 平面 ，FAD
10、1B1ADE所以 平面 .-6 分1/BCE（2）解：易证 ， 是三楼柱，11/C1又因为 平面 ，所以 是此三棱柱的高，AB- 7 -同理 也是三棱锥 的高.-8 分1BE1ADE因为 ， 为等边三角形，36CBC所以 ， ， ,-10 分132又 ，11111123ABCEDABCADEVVSBESB所以 .-12 分123319.（1）该校学生每周平均体育运动时间3 分8.50.15.92.07.52.03. x样本中高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数:人3)1(14y又样本中高一的人数有 120 人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足 4 小时的人数为 1200 =30
11、0 6 分4（2）列联表如下：基础年级 高三 合计优秀 105 30 135非优秀 105 60 165合计 210 90 3008分假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则 635.071.916539021)(32K又 .)65.(P所以有 99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”.12 分20.解：（1）由题可得抛物线的方程为，设过 P(1，0)且斜率为 k 的直线 l 的方程为- 8 -直线 l 与抛物线的交点为 M()，N()，由得，.-3 分kx241，即25,解得 k=-25 或 1.又0 或，或 1。-6 分（1） 解法一：设圆
12、C 的半径为 R，如图所示，由平面几何性质可得，（）当圆 C 在圆 O 的下方时，相似于，解得 R=1，圆 C 的方程为。-9 分（）当圆 C 在圆 O 的上方时，相似于， ，解得 R=4，圆 C 的方程为，故所求圆 C 的方程为或。-12 分解法二：由题可得切线 GA，GB 的方程为， ，设圆 C 的方程为，-8 分由题意知-10 分 解得或故所求圆 C 的方程为或。-12 分21.(本小题满分 12 分）解：由题意知，函数的定义域为，令，可得，令，则由题可知直线与函数的图象有两个不同的交点，令，得，可知在上单调递增，在上单调递减，当 x 趋向于时，趋向于零，故实数 a 的取值范围为当时，即，因为，所以，令，- 9 -则，令，则，所以在上单调递增，故函数在上唯一的零点，即，故当时，即，当时，所以，所以，因为，所以，所以 k 的最大值为 4 22.解：把直线 l 的参数方程化为普通方程为由，可得，曲线 C 的直角坐标方程为直线 l 的倾斜角为，直线的倾斜角也为，又直线过点，直线线的参数方程为为参数，将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得，设点 A， B 对应的参数分别为，由一元二次方程的根与系数的关系知为， 23. 解：；，故或或，解得：或，故不等式的解集是或；， - 10 -
