1、- 1 -福建省东山县第二中学 2019 届高三数学上学期第三次月考试题 文一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 2、某校初三年级有 400 名学生，随机抽查了 40 名学生，测试 1 分钟仰卧起坐的成绩（次数） ，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）A. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 25 次B. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 25 次C. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的人数
2、约为 8 人.D. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的人数约有 80 人 3、设 Sn是数列 an的前 n 项和，若 Sn2 an3，则 Sn( )A2 n1 B2 n1 1 C32 n3 D32 n1 4、已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5、某几何体的三视图如图，则几何体的体积为( )A. 8+16 B. 8-16 C. 168 D. 8+8 6、执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则 输出- 2 -的 的值为（ ）A. B. C. D. 7、已知函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则下列是函数 的图象
3、的对称轴方程的为( )A. B. C. D. 8、已知函数 的最小正周期为 ，则当 时，函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 9、已知正四棱锥 的顶点均在球 上，且该正四棱锥的各条棱长均为 ，则球 的表面积为( )A. B. C. D. 10、已知命题 ：椭圆 与双曲线 有相同的焦点；命题 ：函数 的最小值为 . 下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 11、已知三角形 中， ， ，连接 并取线段 的中点 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 15-412、已知函数 若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是（ ）- 3 -A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共 4
4、小题，每小题 5 分，共 20 分)13、在复平面内，复数 和 对应的点分别是 和 ，则 12z14、设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_15、在半径为 的圆 内任取一点 ，以点 为中点的弦的弦长小于 的概率为_.16、ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 若 c= ，则ABC 的周长的最大值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、 （本小题满分 12 分）已知等差数列 an满足： a37， a5 a726， an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列 bn的前 n
5、项和 Tn.1a2n 118、 （本小题满分 12 分）在多面体 中， 为等边三角形，四边形 为菱形，平面 平面 ， ， .（1）求证： ；（2）求点 到平面 距离.19、 （本小题满分 12 分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 名小学六年级学生进行了问卷调查,30并得到如下列联表.平均每天喝 以上为“常喝”,体重超过 为“肥胖”.50ml 5kg常喝 不常喝 合计- 4 -肥胖 2不肥胖 18合计 30已知在全部 人中随机抽取 人,抽到肥胖的学生的概率为 .3014151.请将上面的列联表补充完整2.是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由3.已知
6、常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有 2 名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取 2 人参加一个有关健康饮食的电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.参考数据: 2PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： K2 ，其中 n a b c dn ad bc 2 a b c d a c b d20、 （本小题满分 12 分）已知椭圆 : 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且过点 .过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， 为椭圆的左顶点.()求椭圆 的标准方程；(
7、)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.21、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .（1）求 ， 的值；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.- 5 -请考生在 22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以原点 为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .()求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；()已知直线 与曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 .23 （本小题满分 10 分）选修 4-5
8、：不等式选讲已知 ， .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若 时， 的解集为空集，求 的取值范围.- 6 -2019 届高三（上）文月考 3 数学参考答案DDCA BCBD CBBA13、 14、 15、 16、i134317. 解 (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d.因为 a37， a5 a726，所以Error! 解得Error!所以 an32( n1)2 n1， Sn3 n 2 n22 n.n n 12(2)由(1)知 an2 n1，所以 bn ，1a2n 1 1 2n 1 2 1 14 1n n 1 14 (1n 1n 1)所以 Tn (1 ) (1 ) ，14 12
9、12 13 1n 1n 1 14 1n 1 n4 n 1即数列 bn的前 n 项和 Tn .n4 n 118、 【答案】(1)见解析；（2） .【解析】：（1）取 中点 ，连接 ， ,由正三角形的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得 面 ， ，从而可得 ；（2）由面 面 ，面 ，从而得 ，由勾股定理可得 ，从而求得 ，设点到面 的距离为 ，由 即 ，从而可得结果.试题解析：（1）证明：取 中点 ，连接 ， . 为等边三角形， ，四边形 为菱形， 为等边三角形， ，又 ， 面 ， 面 ， .（2）面 面 ， ，面 面 ， 面 ， 面 ， 面 ， . 在 中， ，由（1）得 ，因为 ，且 ， ，设
10、点 到面 的距离为 .- 7 - 即 . 即 ， .19、答案：1.设全部 30 人中的肥胖学生共 名,则 ,解得 .x2430156x常喝碳酸饮料且肥胖的学生有 6 名.列联表如下:常喝 不常喝 合计肥胖 6 2 8不肥胖 4 18 22合计 10 20 302.有;理由:由已知数据可求得 ,22306184.57.89K因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.3.根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为 ,女生为 ,则任取两人,ABCDEF可能的结果有 共, , ABCDEFDEF15 种,其中一男一女有 , 共 8 种.,故正好抽到一男一女的概率为 81520、 【答案】 （1
11、） ；（2）直线 l 的方程为 x1.【解析】试题：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2) 联立直线和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式进行求解.试题解析：(1)因为抛物线 y24 x 的焦点为( ，0)，所以椭圆 C 的半焦距 c ，即 a2 b23. 把点 Q 代入 1，得 1. - 8 -由解得 a24， b21.所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.(2)设直线 l 的方程为 xty1，代入 y 21，得(t 24)y 22ty30.设 M(x1，y 1)，N( x2，y 2)，则有 y1y 2 ，y 1y2 .则
12、|y 1y 2| .令 m(m )易知函数 y m 在 ，)上单调递增，则 ，当且仅当 m ，即 t0 时，取等号所以|y 1y 2| .所以AMN 的面积 S |AP|y1y 2| 3 ，所以 Smax ，此时直线 l 的方程为 x1.21、 【答案】(1) , ;(2) 实数 的取值范围是 .【解析】：（1）求出 ，由 ， 可求得 ， 的值；（2）恒成立等价于 . 设 ，利用导数研究函数的单调性，讨论可证明证明当 时， 恒成立，当 时，不合题意，从而可得结果.试题解析：（1）函 的定义域为 ， ，把 代入方程 中，得 ，即 ， ，又因为 ， ，故 .（2）由（1）可知 ，当 时，恒成立等价
13、于 . 设 ， 则 ，由于 ，当 时， ，则 在 上单调递增， 恒成立. - 9 -当 时，设 ,则 .则 为 上单调递增函数，又由 .即 在 上存在 ，使得 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增；则 ，不合题意，舍去. 综上所述，实数 的取值范围是 . 22、 【答案】 （1）直线 l 的直角坐标方程为 x y20；（2）3.【解析】试题：(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于 的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.试题解析：(1)由曲线 C 的参数方
14、程 ( 为参数) ( 为参数)，两式平方相加，得曲线 C 的普通方程为( x1) 2y 24；由直线 l 的极坐标方程可得 coscos si nsi n cossi n2，即直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由题意可得 P(2，0)，则直线 l 的参数方程为 (t 为参数)设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则|PA|PB|t 1|t2|，将 (t 为参数)代入 (x1) 2y 24，得 t2 t30，则 0，由韦达定理可得 t1t23，所以|PA|PB|3|3.23、试题解析：(1)当 时， 化为 ， 当 ，不等式化为 ，解得 或 ，故 ； 当 时，不等式化为 ，解得 或 ，故 ； - 10 -当 ，不等式化为 ，解得 或 故 3,x所以 解集为 或 (2) 由题意可知，即为 时， 恒成立 当 时， ，得 ； 当 时， ，得 ，综上， ,4a
