1、课后限时集训(三十四) (建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1不等式( x2 y1)( x y3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C DC ( x2 y1)( x y3)0，即Error!或Error!与选项 C 符合故选 C2已知实数 x， y 满足Error!则 z3 x y 的最小值为( )A1 B1 C3 D2C 如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数 z3 x y 的几何意义是直线 3x y z0 在 y 轴上截距的相反数，故当直线在 y 轴上截距取得最大值时，目标函数 z 取得最小值由图可知，目标函数对应直线经过点
2、A 时， z 取得最小值由Error!解得 A(1,0)故 z 的最小值为 3103.故选 C3(2019泰安模拟)若变量 x， y 满足Error!则 x2 y2的最大值是( )A4 B9C10 D12C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示 x2 y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由Error!得 A(3，1)，由图易得( x2 y2)max| OA|23 2(1) 210.故选 C4(2019衡阳模拟)若 x， y 满足Error!且 z3 x y 的最大值为 2，则实数 m 的值为( )A B13 23C1 D2D 由选项得 m0，作出不等式组Error!表示的平面区域
3、，如图中阴影部分因为 z3 x y，所以 y3 x z，当直线 y3 x z 经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距 z 最小，即目标函数取得最大值 2.由Error!得 A(2,4)，代入直线 mx y0 得 2m40，所以 m2.5某企业生产甲、乙两种产品均需用 A， B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A12 万元 B16 万元C17 万元 D18 万元D 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、 y
4、 吨，每天所获利润为 z 万元，则有Error!目标函数 z3 x4 y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点 A 处取到最大值由Error!得 A(2,3)则 zmax324318(万元)二、填空题6(2017全国卷)若 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x4 y 的最小值为_1 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示由 z3 x4 y 得 y x z.34 14平移直线 y x，易知经过点 A 时， z 有最小值34由Error!得Error! A(1,1) zmin341.7若变量 x， y 满足约束条件Error!则( x2) 2 y2的最小值
5、为_5 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，设 z( x2) 2 y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方，由图知 C， D 间的距离最小，此时 z 最小由Error!得Error!即 C(0,1)，此时 zmin( x2) 2 y2415.8已知实数 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z 的最大值为_y 2x 5 作出约束条件所表示的平面区域，其中 A(0,1)， B(1,0)， C(3,4)12目标函数 z 表示过点 Q(5，2)与点( x， y)的直线的斜率，且点( x， y)在 ABCy 2x 5平面区域内显然过 B， Q 两点的直线的斜
6、率 z 最大，最大值为 .0 21 5 12三、解答题9如图所示，已知 D 是以点 A(4,1)， B(1，6)， C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)(1)写出表示区域 D 的不等式组；(2)设点 B(1，6)， C(3,2)在直线 4x3 y a0 的异侧，求 a 的取值范围解 (1)直线 AB， AC， BC 的方程分别为7x5 y230， x7 y110,4 x y100.原点(0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为Error!(2)根据题意有4(1)3(6) a4(3)32 a0，即(14 a)(18 a)0，解得18 a14.故 a 的取值范围是(18,1
7、4)10若 x， y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z x y 的最值；12 12(2)若目标函数 z ax2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围解 (1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)， B(0,1)， C(1,0)平移初始直线 x y 0，过 A(3,4)时 z 取最小值2，过 C(1,0)时 z 取最大值 1.12 12所以 z 的最大值为 1，最小值为2.(2)直线 ax2 y z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知1 2，解得a24 a2.故 a 的取值范围是(4,2)B 组 能力提升1若平面区域Error!夹在两条斜率为 1 的平行直线之间
8、，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A B. C D.355 2 322 5B 根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为 1 的直线分别过 A 点和 B 点时满足条件，联立方程组Error! 求得 A(1,2)，联立方程组Error!求得 B(2,1)，可求得分别过 A， B点且斜率为 1 的两条直线方程为 x y10 和 x y10，由两平行线间的距离公式得距离为 ，故选 B.|1 1|2 22若不等式组Error!表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为( )43A3 B1C D343B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求 A， B， C， D 的坐标分别为 A(
9、2,0)，B(1 m,1 m)， C ， ， D(2 m,0)2 4m3 2 2m3S ABC S ADB S ADC |AD|yB yC| (22 m) (1 m) 12 12 (1 m 2 2m3 ) (1 m 23 )，解得 m1 或 m3(舍去)433已知实数 x， y 满足Error!设 b x2 y，若 b 的最小值为2，则 b 的最大值为_10 画出可行域，如图阴影部分所示由 b x2 y，得 y x .易知在点( a， a)处12 b2b 取最小值，故 a2 a2，可得 a2.在点(2，4)处 b 取最大值，于是 b 的最大值为2810.4某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要
10、A， B， C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 A B C甲 4 8 3乙 5 5 10现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用 x， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解 (1)由已知， x， y 满足的数学关系式为Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z2 x3 y.考虑 z2 x3 y，将它变形为 y x ，它的图像是斜率为 ，随 z 变化的一组平23 z3 23行直线， 为直线在 y 轴上的截距，当 取最大值时， z 的值最大根据 x， y 满足的约束条件，z3 z3由图可知，当直线 z2 x3 y 经过可行域上的点 M 时，截距 最大，即 z 最大z3解方程组Error!得点 M 的坐标为(20,24)，所以 zmax220324112.即生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元
