1、4.1.2 圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程 x2y 2DxEyF=0 表示圆的条件(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程 x2y 2DxEyF=0 表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根
2、据已知条件确定方程中的系数，D、E、F教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 新 疆学 案王 新 敞 教 具：多媒体、实物投影仪 新 疆学 案王 新 敞教学过程：课题引入：问题：求过三点 A（0，0） ， B（1，1） ，C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(xa) 2(yb) 2=r2，圆心(a，b)，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：x2y 22ax2bya 2b 2r 2=0取 得,2r
3、bFEaD02FEyDxy这个方程是圆的方程反过来给出一个形如 x2y 2DxEyF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把 x2y 2DxEyF=0 配方得 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是4)()( 222 FED表示圆？(1)当 D2E 24F0 时，方程 表示（1）当 时，表示以（-042FED， - ）为圆心 , 为半径的圆；2F412（2）当 时，方程只有实数解 ， ，即只表示一个22xy点（- ，- ）;DE（3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 新 疆学 案王 新 敞042F综上所述，方程 表示的曲线不一定是圆 新 疆学 案王 新 敞 EyDxy只有当 时，它
4、表示的曲线才是圆，我们把形如2E的表示圆的方程称为圆的一般方程 新 疆学 案王 新 敞02Fyxy 214xy我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)x 2和 y2的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。知识应用与解题研究：例 1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。241290xyxy学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化
5、成圆的标准形式。、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 来说，2141290xyx这里的.91,34DEF而 不 是 D=-,E2F9例 2：求过三点 A（0，0） ， B（1，1） ，C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 新 疆学 案王 新 敞 解：设所求的圆的方程为： 02FEyDxy 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上(0,)1AB， ） ,C(4)面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组，FE即 024DF解此方程组
6、，可得： 新 疆学 案王 新 敞0,68FE所求圆的方程为： 新 疆学 案王 新 敞2yx； 新 疆学 案王 新 敞54212r 32,4D得圆心坐标为（4，-3）.或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从068yx 25)3()4(2yx而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3) 新 疆学 案王 新 敞5r学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：、根据提议，选择标准方程或一般方程；、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；、解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3） ，端点 A 在圆上 运动，214xy
7、求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条214xy件，求出点 M 的轨迹方程。 解：设点 M 的坐标是（x,y）,点 A 的坐标是0,.B43Bxy由 于 点 的 坐 标 是 ， 且 是 线 段 的 重 点 ， 所 以 0043,22xy于 是 有上运动，所以点 A 的坐标满足方程 ,因 为 点 A在 圆 14214xy即 200xy把代入，得 130p224134,xy221y整 理 ， 得 x-M所 以 ， 点 的 轨 迹 是 以 ， 为 圆 心 ， 半 径 长 为 的 圆642-2-4-5 5MOBAyx课堂练习：课堂练习 第 1、2、3 题0p小结 ：1对方程 的讨论(什么时候可以表示圆) 新 疆学 案王 新 敞02FEyDx2与标准方程的互化 新 疆学 案王 新 敞 3用待定系数法求圆的方程 新 疆学 案王 新 敞 4求与圆有关的点的轨迹。课后作业： 习题 4.1 第 2、3、6 题130p
