1、2018 届云南省保山市普通高中高三毕业生第二次市级理科数学统测试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数 的虚部为（ ）A. -2 B. C. D. 0【答案】A【解析】由 ，则的虚部为 ，故选 A2. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】集合 的元素表示的是椭圆上的点，集合 的元素表示的是抛物线上的点，由数形结合可知，两图象有两个交点，则 中的元素个数为 2，故选 B3. 我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，
2、球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径 12 寸，球壁厚 0.3 寸，1 立方寸金重 1 斤，试问金球重是多少斤？（注 ） （ ）A. 125.77 B. 864 C. 123.23 D. 369.69【答案】C【解析】由题意知，大球半径 ，空心金球的半径 ，则其体积 （立方寸） 因 1 立方寸金重 1 斤，则金球重 斤，故选 C4. 为双曲线 ： 上一点， ， 分别为双曲线的左、右焦点， ，则 的值为（ ）A. 6 B. 9 C. 18 D. 36【答案】D【解析】在 中，设 与 的夹角为，由余弦定理得 ，故选 D5. 若 ， 满足约束条件 ，则
3、的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 表示的是以 为圆心，以 1 为半径圆上及其圆的内部的点，而 的几何意义是点 到原点的距离，则 的最小值为 ，故选 A6. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 或 5【答案】B【解析】由 为等差数列，所以 ，即 ，由 ，所以 ，令 ，即 ，所以 取最大值时的 为 ，故选 B7. 某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，由三视图可知，四棱锥即为边长为 1 的正
4、方体上的四棱锥 ，则四棱锥 的表面积为 ，故选 B点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和8. 如图所示，其功能是判断常数 是否为完全数的程序框图，若输出的结果是 是完全数，则输入的 可以是（ ）A. 5 B. 12 C. 16 D. 28【答案】D【解析】由程序框图可知，完全数等于其所有真因子的和，而 ，即 是一
5、个完全数，故选 D9. 四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，延长 AD 到 H，使 ，过 P 作 ，F 为 PG 的中点，连接 BF，FH， BH，则 为异面直线 与 所成的角或者补角，在 中，由余弦定理得 ，故选 C点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：
6、由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角10. 已知函数 在 时有极值 0，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】对函数 求导得 ，由题意得 即 解得 或当 时 ，故所以椭圆 的离心率为 ，故选 B11. 在 中，若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 的内角 A，B，C 所对应的三条边分别为 ，则有 ，由正弦定理得：展开可得 ，所以 ，则 = ，当且仅当 时，等号成立，故选 B点睛：当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用
7、条件 进行化简运算；用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.12. 一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过 5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ）A. 5 B. 25 C. 55 D. 75【答案】D【解析】由题意知：小蜜蜂经过 5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在 5 次飞行中，有 4 次向正方向飞行，1 次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有 种情况；二、小蜜蜂在 5 次飞行中，有 3 次向正方向飞行每次
8、飞行一个单位，1 次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，1 次向负方向飞行，且每次飞行两个单位，共有 种情况；三、小蜜蜂在 5 次飞行中，有 1 次向正方向飞行每次飞行一个单位，2 次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2 次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有 种情况；四、小蜜蜂在 5 次飞行中，有 3 次向正方向飞行每次飞行两个单位，有 1 次向负方向飞行且飞行两个单位，有 1 次向负方向飞行且飞行一个单位，共有 种情况；故而共有 种情况，故选：D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 甲同学在“附中好声音”歌唱选拔赛中，5 位评委评分情况分别为 76，77，8
9、8，90，94，则甲同学得分的方差为_【答案】52【解析】故答案为：52.14. 函数 的最大值是_【答案】【解析】 = ，所以当 时，有最大值 故答案为： .15. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 _【答案】【解析】 ,故答案为：16. 已知 是抛物线 ： 的焦点，点 的坐标为 ，点 是 上的任意一点，当 在点 时，取得最大值，当 在点 时， 取得最小值，则 ， 两点间的距离为_.【答案】【解析】由抛物线的方程为 ，则点 的坐标为 ，当 平行 轴时， 取得最大值，则 的坐标为 ；当 三点共线，且点 在 之间时， 取得最小值，由点 的坐标为 ，则 的坐标为，所以 故答案为： .三、解答
10、题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数 .（）求函数 的最小正周期及对称中心；（）设 的内角 ， ， 的对边分别为， ， ，若 ， ，且 ，求， 的值.【答案】(1) 对称中心 (2)【解析】试题分析：（）化简函数得 ，最小正周期 ，由 可得对称中心；（）由 ，得 ， ，由正弦定理得 ，进而由余弦定理求解即可.试题解析：（），所以最小正周期 ；由 ，得对称轴中心为（）由 得，由正弦定理得 ，由余弦定理 ，由解得18. 某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取 100 名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.（）根据数学成绩的频率分布表
11、，求理科数学成绩的中位数的估计值；（）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关：（）设文理科数学成绩相互独立，记 表示事件“文科、理科数学成绩都大于等于 120 分” ，估计 的概率.附：0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828【答案】(1)110.625 分(2) 没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关（3）0.055【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图求出中位数的估计值；（2）计算 ，根据表格中的数据，作出判断；（3）记 B 表示“ 文科数学成绩大于等于 120
12、分”，C 表示“理科数学成绩大于等于 120 分” ，由于文理科数学成绩相互独立，利用概率乘法公式即可得到结果.试题解析：（）理科数学成绩的频率分布表中，成绩小于 105 分的频率为 0.350.5，故理科数学成绩的中位数的估计值为 分 （）根据数学成绩的频率分布表得如下列联表：数学成绩 分 数学成绩 分 合计理科 25 75 100文科 22 78 100合计 47 153 200，故没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关 （）记 B 表示“ 文科数学成绩大于等于 120 分”，C 表示“ 理科数学成绩大于等于 120 分” ，由于文理科数学成绩相互独立，所以 A 的概率 19. 如图，
13、已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点.（）证明： 平面 ；（）若 ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1) 连接 ， ，连接 ,易得 ，从而 平面 ；（2）取 的中点 ，连接 ， ，易证 ，以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，所在的直线为轴建立空间坐标系，求出平面 与平面 的法向量面，代入公式计算即可.试题解析：（）证明：如图，连接 ， ，连接 ，四棱锥 的底面为菱形，为 中点，又 是 中点，在 中， 是中位线， ，又 平面 ，而 平面 ， 平面 （）解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，为菱形，且 ， 为正三角形， 设 ， ， ，且 为等腰直角三角形，即 ，平面 ，且 ， ，如图，建立空间直角坐标系，以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在的直线为轴，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设 为平面 的一个法向量，则 即可取 设 为平面 的一个法向量，则 即可取 于是
